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篮球队员选拔问题
摘要
本文主要采用灰关联分析、主成分分析和因子分析法，对篮球队员选拔中的相关问题进行求解。在充分处理和分析12名球员五场训练赛的有关数据基础上，运用上述的分析思想建立起相关的数学模型，对篮球竞技指标进行确定和排序，对篮球队员的竞技水平进行综合评价、排名和选拔。最后根据模型的结果，并结合篮球相关书刊，对每位球员给出合理的技术指导和建议，以提高球队的综合竞技水平。
问题一，利用spss软件统计12名球员五场比赛的18项技术指标，并将其进行无纲量化处理。采纳灰色关联度分析思想，利用matlab软件计算得出各项指标的灰色关联度ri，即可说明各项指标对球员竞技水平关联（影响）程度，从而实现对指标的排序，以及结果的分析。
问题二，结合主成分分析思想，将18项技术指标进行筛选综合，建立相应的数学模型，求解得出贡献率和累次贡献率，进而确定出主成分，得出的主成分足够反映球员的综合竞技水平。根据各球员的各主成分和综合因子的得分情况，得出主成分分析的综合评价结果，根据评价结果，以此实现球员之间的排序。
问题三，是在问题二的基础上，采用因子分析的方法，对5场比赛各球员的篮球竞技水平的18项技术指标进行分类与选择，确定了以下五个因子——防守态度因子、清晰敏捷因子、技术失误因子、时空特征因子和发挥稳定因子。研究这些因子对球员竞技专项能力的影响，利用spss软件计算各球员各因子的得分，并进行排序。根据排名情况，从防守和进攻等方面充分考虑球队的整体性，并结合每个位置主力队员的特点，挑选5名优秀球员参赛。
最后，在前三问的模型结论的基础上，结合NBA官网和查阅篮球技术文献，对主力球员与其余球员进行合理的技术分析，提供技术改进建议，以提升球队的综合竞技水平。

关键词：指标、排序、灰色关联分析、主成分分析、因子分析等

一.问题重述与分析
1.1问题重述
由校举行的“篮球挑战杯”比赛即将开始。每个学院需派出一支男子篮球队参加校内篮球比赛。现需要根据球队的训练成绩选拔相应的队员。根据球员在训练场上的数据，研究下列问题：
（1）确定评价球员竞技水平的技术指标，并将这些技术指标进行排序。
（2）建立适当的模型对这12名队员进行排序。
（3）从进攻、防守等方面充分考虑球队的整体性，找出5名合适的主力队员以便参加校比赛。
（4）对每个球员给出几点技术方面的改进建议，以提升该队的竞技水平。
1.2问题分析
（1）问题一要求确定球员的竞技水平的技术指标，并给指标间进行排序。为了排除主观因素的影响，从原始数据入手，统计分析五场比赛各项指标的数据，并对数据进行预处理，综合得出球员的竞技水平所原始数据中18项指标的影响。结合灰色关联度分析的思想，根据spss软件求得出各项指标之间的关联度，灰关联度越大，表明该指标对球员竞技水平的关联（影响）程度越大。引入灰关联分析从客观上能够合理、准确地对各项指标进行排序。
（2）对球员进行综合评价，即对球员技术指标综合分析的结果。问题二则要求建立适当的模型对12名球员进行排序。结合主成分分析法，能够公正合理的对球员进行评价和排序。结合（1）中所给的技术指标，对18项技术指标进行综合处理，根据spss软件得出指标的（累次）贡献率，确定指标的主成分，根据计算公式求得各球员主成分的综合得分，进而实现对球员进行排序。
（3）问题三要求从进攻、防守等方面充分考虑球队的整体性，合理得出最佳阵容。
根据题目要求，将最佳阵容问题转化为各球员各技术指标之间的相互关联分析。首先对各项指标进行归因分类，结合主成分分析和主成分分析思想，将归因所得的因子的得分求出。由此得出赛场上不同位置的主力球员的技术要求，挑选5名球员进行参赛。
（4）问题四中，结合前三问的结果和相关篮球的文献，给各球员进行合理的技术改进建议，促进球员综合水平的提高，以提升球队的整体竞技水平。

二.模型假设
（1）各场次的数据能真实、充分地反映每位球员的真实能力和水平；
（2）每名球员的能力和水平在比赛中可以正常发挥，不受外界因素和环境的影响；
（3）主力队员的单项条件互不影响，具有互补性；
（4）各球员的各项指标按同一原则可进行量化。

三.符号确定与说明
α灰色关联度的分辨系数技术指标与比较数列之间的关联系数对灰色关联度Ym综合因子σi第i个主成分的方差
四、模型建立与求解
4.1问题一
4.1.1理论准备
1．灰色关联度分析（单因子的情况）
（1）根据灰色关联度分析确定
①参考数列：=｛(k)|k=1，2…n｝
②比较数列：=｛(k)|k=1，2…n｝，i=1，2…m
（2）计算灰色关联系数：

其中，k=1,2，…，n，

（3）计算灰色关联度：

（4）根据上述灰色关联度的大小，对各指标进行排序，建立各评价对象的关联序。灰色关联度ri越大，该