专题四 万有引力定律和天体运动.doc

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启东中学专题四万有引力定律和天体运动

重点难点
1．研究天体运动的基本方法：
研究人造卫星、行星等天体的运动时，我们进行了以下近似：中心天体是不动的，环绕天体以中心天体的球心为圆心做匀速圆周运动；环绕天体只受到中心天体的万有引力作用，这个引力提供环绕天体圆周运动的向心力．
即Geq\f(m1m2,r2)=m2eq\f(υ2,r)=m2ω2r=m2（）2r
2．卫星的速度、角速度、加速度、周期和轨道半径的关系
①υ=eq\r(\f(GM,r))，即线速度υ∝eq\f(1,\r(r))；
②ω=eq\r(\f(GM,r3))，即角速度ω∝eq\f(1,\r(r3));
③T=，即周期T∝eq\r(r3)，或eq\f(T2,r3)=，即开普勒第三定律;
④a=eq\f(GM,r2)，即向心加速度a∝eq\f(1,r2)
3．“双星”和“黑洞”
“双星”是两颗相距较近，它们之间的万有引力对两者运动都有显著影响，而其他天体的作用力影响可以忽略的特殊天体系统．它们之所以没有被强大的引力吸引到一起而保持距离L不变，是因为它们绕着共同“中心”以相同的角速度做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供它们做圆周运动的向心力．
“黑洞”是近代引力理论预言的一种特殊天体，它的质量十分巨大，以致于其脱离速度有可能超过其空中的光速，因此任何物体都不能脱离它的束缚，即光子也不能射出．已知物体从地球上的脱离速度（即第二宇宙速度）是υ=eq\r(\f(2GM,R))，故一个质量为M的天体，若它是一个黑体，则其半径R应有：R≤eq\f(2GM,c2)．
规律方法
【例1】（05年苏常等四市）由于万有引力定律和库仑定律都满足于平方反比律，因此引力场和电场之间有许多相似的性质，在处理有关问题时可以将它们进行类比．例如电场中反映各点电场强弱的物理量是电场强度，其定义式为E=eq\f(F,q)，在引力场中可以有一 个类似的物理量来反映各点引力场的强弱．设地球质量为M，半径为R，地球表面处重力加速度为g，引力常量为G．如果一个质量为m的物体位于距地心2R处的某点，则下列表达式中能反映该点引力场强弱的是 （AD）
A．GB．GC．GD．eq\f(g,4)
训练题（05年湖北）在某星球表面以初速度υ0竖直上抛一个物体，若物体受到该星球引力作用，忽略其他力的影响，物体上升的最大高度为h，已知该星球的直径为d，如果要在这个星球上发射一颗绕它运行的卫星，其做匀速圆周运动的最小周期为 （A）
A．B．C．D．
【例2】（05年广东）已知万有引力常量是G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运动周期为T1，地球的自转周期为T2，地球表面的重力加速度g，某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：
同步卫星绕地心作圆周运动，由Geq\f(Mm,h2)=m（）2h，得M=
（1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由，如不正确，请给出正确的解法和结果．
（2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果．
【解析】（1）地球半径约为6400km，同步卫星的高度约为36000km．计算同步卫星轨道半径时，就不能忽略地球的半径．故题中的结果是错误的．
正确的解法和结果是：由Geq\f(Mm,(R+h)2)=m（）2（R+h），得：M=
（2）方法一：由月球绕地球做圆周运动，有：Geq\f(Mm,r2)=m（）2r，得：M=
方法二：在地面附近重力近似等于万有引力，由eq\f(GMm,R2)=mg得：M=eq\f(R2g,G)．
训练题已知物体在质量为M、半径为R的星球表面脱离的速度为υ=eq\r(\f(2GM,R))，其中G=6.67×10-11N·m2/kg2．黑洞是一种质量十分巨大的特殊天体，因此任何物体（包括光子）都不能脱离它的束缚．
（1）天文学家根据天文观测认为：在银河系中心可能存在一个大黑洞，它的引力使距该黑洞60亿千米的星体以2000km/s速度绕其旋转，若视星体做匀速圆周运动，试求该黑洞的质量．
（2）若黑洞的质量等于太阳的质量M=2×103kg，求它的可能最大半径．
（3）在目前的天文观测范围内，宇宙的平均密度为10-27kg/m3，若视宇宙是一个均匀的大球体，光子也不能逃离宇宙，则宇宙的半径至少应为多少?
答案：（1）M=3．6×1035kg
（2）Rm=3×103m
（3）R＞4×1025m

【例3】（05年南通）一地球探测飞船在地