高考数学解题思想方法-函数与方程的思想方法.doc

三、函数与方程的思想方法
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。
函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。
Ⅰ、再现性题组：
1.方程lgx＋x＝3的解所在的区间为_____。
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+∞)
2.如果函数f(x)＝x＋bx＋c对于任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么_____。
A.f(2)<f(1)<f(4)B.f(1)<f(2)<f(4)C.f(2)<f(4)<f(1)D.f(4)<f(2)<f(1)
3.已知函数y＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝a(a是常数)______。
A.有且仅有一个实根B.至多一个实根C.至少一个实根D.不同于以上结论
4.已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(，π)，则tgθ的值是_____。
A.－B.－C.D.
5.已知等差数列的前n项和为S，且S＝S(p≠q，p、q∈N)，则S＝_________。
6.关于x的方程sinx＋cosx＋a＝0有实根，则实数a的取值范围是__________。
7.正六棱锥的体积为48,侧面与底面所成的角为45°，则此棱锥的侧面积为___________。
8.建造一个容积为8m，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为___________。
【简解】1小题：图像法解方程，也可代入各区间的一个数（特值法或代入法），选C；
2小题：函数f(x)的对称轴为2，结合其单调性，选A；
3小题：从反面考虑，注意应用特例，选B；
4小题：设tg＝x(x>0），则＋＝，解出x＝2，再用万能公式，选A；
5小题：利用是关于n的一次函数，设S＝S＝m，＝x，则（,p）、(,q)、(x，p+q)在同一直线上，由两点斜率相等解得x＝0，则答案：0；
6小题：设cosx＝t，t∈[-1,1]，则a＝t－t－1∈[－,1]，所以答案：[－,1]；
7小题：设高h，由体积解出h＝2，答案：24；
8小题：设长x，则宽，造价y＝4×120＋4x×80＋×80≥1760，答案：1760。
Ⅱ、示范性题组：
设a>0，a≠1，试求方程log(x－ak)＝log(x－a)有实数解的k的范围。
【分析】由换底公式进行换底后出现同底，再进行等价转化为方程组，分离参数后分析式子特点，从而选用三角换元法，用三角函数的值域求解。
【解】将原方程化为：log(x－ak)＝log，等价于（a>0,a≠1）
∴k＝－(||>1）,
设＝cscθ，θ∈(－,0)∪(0,)，则k＝f(θ)＝cscθ－|ctgθ|
当θ∈(－,0)时