现代设计理论与方法_优化设计.ppt

第2章优化设计2.1概述2.1.2优化设计的一般过程2.1.3优化设计的数学模型1）设计变量2.1.3优化设计的数学模型2.1.3优化设计的数学模型2.1.3优化设计的数学模型2.1.3优化设计的数学模型2.1.3优化设计的数学模型（3）等值面和等值线
对于简单的问题，可用等值线或等值面来描述函数的变化趋势，还可以直观地给出极值点的位置。
目标函数等值线（面），其数学表达式为：
f（X）=c。
在这种线或面上所有点的函数值均相等，因此，这种线或面称为函数的等值线或等值面。
当c取一系列不同的常数值时，可以得到一组形态相似的等值线或等值面，称为函数的等值线簇或等值面簇。a）当n=2时，该点集是设计平面中的一条直线或曲线；
b）当n=3时，该点集是设计空间中的一个平面或曲面；
c）当n大于3时，该点集是设计空间中的一个超曲面。目标函数f（X）＝一60x1一120x2的等值线簇。函数：
f（X）＝xl2十x22一4x1十4的图形(旋转抛物面)。

用平面f（X）＝c切割该抛物面所得交线在设计空间中的投影，就是目标函数的等值线。约束条件的作用：
就是对设计变量的取值加以限制。2.1.3优化设计的数学模型b）根据性质不同分为边界约束和性能约束。
边界约束：考虑了设计变量变化的范围，是对设计变量本身所加的直接限制。
比如：ai-xi≤0
xi-bi≤0
性能约束：是根据设计性能或指标要求而定的一种约束条件。是对设计变量加的间接变量。例如：零件的强度条件，刚度条件，稳定性条件均属于性能约束。约束边界（2）可行域
每一个不等式或等式约束都将设计空间分为两个部分，满足所有约束的部分形成一个交集，该交集称为此约束问题的可行域，记作D。
可行域就是满足所有约束条件的设计点的集合，因此，可用集合式表示如下：（2）可行域此约束的可行域是由约束边界线围成的封闭五边形：
OABCD
2.1.3优化设计的数学模型3、优化设计数学模型建立实例
例1：有一块边长为6m的正方形铝板，四角各裁去一个小的正方块，做成一个无盖的盒子。试确定裁去的四个小正方块的边长，以使做成的盒子具有最大的容积。

解：设裁去的四个小正方块的边长为x，则盒子的容积可表示成x的函数
F（X）＝x(6-2x)23、优化设计数学模型建立实例3、优化设计数学模型建立实例例2：平面连杆机构的优化设计
曲柄摇杆机构再现已知运动规律的优化设计1）设计变量的确定2）目标函数的建立3）约束条件的确定（2）若要求最小传动角应在和间，可得设计变量的确定1、按是否包含有约束条件分：
无约束优化问题和约束优化问题。
２、按设计变量的多少可分：
单变量优化和多变量优化。
３、按目标函数和约束函数的性质可分：
线性规划和非线性规划。
1、图解法：
用直接作图的方法来求解优化问题。
在设计平面作出约束可行域，画出目标函数的一簇等值线，根据等值线与可行域的相互关系确定出最优点的位置。
特点：优点：直观。
缺点：一般仅限于求解n≤2的低
维优化问题。1）图解法的求解的步骤
（1）确定设计空间；
（2）作出约束可行域；
（3）画出目标函数的一簇等值线；
（4）最后判断确定最优点。2.1.5优化问题数学模型的求解方法此约束的可行域是由约束边界线围成的封闭五边形：
OABCD
2.1.5优化问题数学模型的求解方法其可行域与目标函数的等值线图叠加在一起。
求解得：
每天生产甲产品20件，乙产品24件，可获最大利润4080元。2.1.5优化问题数学模型的求解方法f（X）＝xl2十x22一4x1十42.1.5优化问题数学模型的求解方法2.1.5优化问题数学模型的求解方法图解法只适用于一些很简单的优化问题，所以实用意义不强。2、数学解析法：
把优化对象用数学模型描述出来后，用微分等方法求出最优解
数学解析法也只适用于一些维数较少，易于求导的优化问题。
例1：有一块边长为6m的正方形铝板，四角各裁去一个小的正方块，做成一个无盖的盒子。试确定裁去的四个小正方块的边长，以使做成的盒子具有最大的容积。
minf（X）=-x(6-2x)2
s.t.g1（X）＝-x<0
g2（X）＝x<3变量x—设计变量
f（X）＝x(6-2x)2—目标函数
g（X）＝x>0
g（X）＝x<3—约束条件
使函数f(x)＝x(6-2x)2极大化
即对f(x)=36x—24x2+4x3求导
f’(x)=3-4x+x2=0得出：x=1,3,
∵3>x>0∴x=1为所求解。3、数值迭代法：3、数值迭代法：3、数值迭代法：3、数值迭代法：2.2.1二次型与正定矩阵2、正定与负定的判断
1）对所有非0向量X,
若：XTAX＞0，则称矩阵A是正定矩阵；
XTAX≥0，则称矩阵A是半正定矩阵；
XTAX＜0，则称矩阵A是负定矩阵；
XTAX≤0，则称矩阵A是半负定矩阵；
XTAX