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典型例题及习题
例01下列分式中是最简分式的是（）
A．B．
C．D．
分析：（用排除法）4和6有公因式2，排除A．与有公因式，排除B，分解因式为与有公因式，排除D.
故选择C.
解C
例02约分
（1）（2）（3）
分析（1）中分子、分母都是单项式可直接约分.（2）中分子、分母是多项式，应该先分解因式，再约分.（3）中应该先把分子、分母的各项系数都化为整数，把分子、分母中的最高次项系数化为正整数，再约分.
解：（1）
（2）
（3）原式
例03计算（分式的乘除）
（1）（2）
（3）
（4）
分析（1）可以根据分式乘法法则直接相乘，但要注意符号.（2）中的除式是整式，可以把它看成.然后再颠倒相乘，（3）（4）两题都需要先分解因式，再计算.
解：（1）
（2）
（3）原式
（4）原式
说明：（1）运算的结果一定要化成最简分式；（2）乘除法混合运算，可将除法化成乘法，而根据分式乘法法则，是先把分子、分母相乘，化成一个分式后再进行约分.在实际运算时，可以先约分，再相乘，这样简便易行，可减少出错.
例04计算
（1）
（2）
分析：（1）对于含有分式乘方，乘除的混合运算，运算顺序是先乘方后乘除，一般首先确定结果的符号，再做其他运算，（2）进行分式的乘除混合运算时，要注意，当分子、分母是多项式时，一般应分解因式，并在运算运程中约分，使运算简化，因式，除式（或被除式）是整式时，可以看作分母是“1”的式子，然后按照分式的乘除法法则计算，这样可以减少错误.
解：（1）原式
（2）原式

例05化简求值
，其中，.
分析本题要求先化简再求值，实际上就是先将分子、分母分别分解因式，然后约分，把分式化为最简分式以后再代入求值.
解原式＝

当时，
原式

例07判断下列分式，哪些是最简分式？不是最简分式的，化成最简分式或整式.
（1）；（2）；
（3）；（4）
分析（1）∵，分子、分母有公因式，所以它不是最简分式；（2）显然也不是最简分式；（3）中与没有公因式；（4）中，，分子、分母中没有公因式.
解和是最简分式；
和不是最简分式；
化简
（1）
（2）
例08通分：
（1），，
（2），，
分析（1）中各分母的系数的绝对值的最小公倍数为30，各字母、、因式的最高次幂分别是、、，所以最简公分母是.
（2）中分母为多项式，因而先把各分母分解因式，；；，因而最简公分母是
解（1）最简公分母为.
，

（2）最简公分母是

说明1．通分过程中必须使得化成的分式与其原来的分式相等.
2．通分的根据是分式的基本性质，分母需要乘以“什么”，分子也必须随之乘以“什么”，且不漏乘.
3．确定最简公分母是通分的关键，当公分母不是“最简”时，虽然也能达到通分的目的，但会使运算变得繁琐，因而应先择最简公分母.
例09选择题：
若将分式（、均为正数）中的字母、的值扩大为原来的2倍，则分式的值（）
A．扩大为原来的2倍B．缩小为原来的
C．不变D．缩小为原来的
分析将原式中的、分别换成，，则原分式变为
，
故选B.
说明此题属于利用分式基本性质设计的选择题，主要考查对性质的灵活掌握程度，只要有整体代换的思想便容易解答.代换过程中、分别换成，，其写法不能写为，而应如分析中的写法，将、分别换为，时，原分式变为.
例10若成立，则应取何值，为什么？
分析
从上看出，由变为是利用分式的基本性质，把分子、分母都乘以非零整式得到的，在这个恒等变形过程中，只需，所以即可.
解为不等于3的数.因为当时，，此等式无意义.
例11下列各式从左到右的变形是否正确？
（1）；（2）
（3）；（4）
分析（1）错.因为误把分母中项“”的符号当作分母整体的符号：（2）错.不符合分式的变号法则；（3）错.不符合分式的基本性质；（4）错，因为分子、分母都除以时，只除含的项，没除其他项.
解（1）
（2）
（3）
（4）（）
说明此题变形反映了运用分式基本性质解题时易犯的错误，应在今后变形过程中加以避免.
例12设、是实数，要使分式的值等于零，、应满足怎样的条件？
分析最直观的想法是，要使，只要即可，而仅有此条件显然是片面的，因为分式为零，应要求分子为零，且分母不为零，所以本题对、的限制条件是：，且，且.
分析到此，条件虽然找到，但“，且”，是不是最本质，最简练的表达，还不一定.解决一个数学问题，应该追求其形式尽量简洁，刻画尽量深刻.
解要使，必须有且，而当时，，即
由此，要使的值为0，、应满足的条件是且.
说明其实“且”与“且”的本质完全一致，但后者的刻画简单明了，这也是数学追求的形式.
数学作为一种科学的语言，它能够也应该追求深入、科学、简明地刻画各种关系.同时提示我们.学习数学也要学习数学的思想方法，而不只是学习一些数学事实、掌握一些数学运算或推理技巧而已.
例13有个人去完成某项工作，需要