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勾股定理的常见解题误区

勾股定理及其逆定理是平面几何中的重要定理，其应用非常广泛，但在应用时，常会出现这样或那样的错误，现归纳剖析如下：
一、审题不仔细，受定势思维影响
例1在Rt△ABC中，分别为三边长，∠B＝90°，如果，，求的长．
错解：∵△ABC是直角三角形，∴
即解得
分析：上面的解法，忽视了题目中∠B＝90°，是斜边的隐含条件．
正解：∵△ABC是直角三角形，∠B＝90°，是斜边∴
即解得
例2在△ABC中，的对边分别为，且，则（）
（A）为直角（B）为直角
（C）为直角（D）不是直角三角形
错解：选（B）
分析：因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为，因而有同学就习惯性的认为就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误.该题中的条件应转化为，即，因根据这一公式进行判断.
正解：，∴.故选（A）
例3已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.
错解：第三边长为.
分析：因学生习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长为5.但这一理解的前提是3、4为直角边.而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，但也可能为直角边.
正解：（1）当两直角边为3和4时，第三边长为
；
（2）当斜边为4，一直角边为3时，第三边长为
.
二、概念不明确，混淆勾股定理及其逆定理
例4下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）
（A）1、2、3（B）（C）（D）
错解：选（B）
分析：未能彻底区分勾股定理及其及逆定理，对概念的理解流于表面形式.判断直角三角形时，应将所给数据进行平方看是否满足的形式.
正解：因为，故选（C）
例5在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？
错解：甲船航行的距离为BM=（海里），
乙船航行的距离为BP=（海里）.
∵（海里）且MP=34（海里）
∴△MBP为直角三角形，∴，∴乙船是沿着南偏东方向航行的.
分析：虽然最终判断的结果也是对的，但这解题过程中存在问题.勾股定理的使用前提是直角三角形，而本题需对三角形做出判断，判断的依据是勾定理的逆定理.其形式为“若，则.错解的原因在于未能充分理解勾股定理及其逆定理的概念，导致错误运用.
正解：甲船航行的距离为BM=（海里），乙船航行的距离为BP=（海里）.
∵，∴，
∴△MBP为直角三角形，∴，∴乙船是沿着南偏东方向航行的.
三、考虑不全面造成漏解
例6已知三角形的两边长分别为4、5，第三边上的高为3，求此三角形的面积．
错解：如图1，设高，由勾股定理得：
D
C
B
A
图2
D
C
B
A
图1
，．
∴
从而得
分析：初看上去，上述解法没有错误，其实答案不完整，因为∠C除了上述图形中的锐角外，还可能是钝角．
正解：如图1，如图2，此时
从而得