数学软件与数学建模2.doc

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讲如何在计算机上装MATLAB软件

讲上次例3:
例3:求方程x-1=0的根，并画出根的图形。
解:先求方程x-1=0的根，
因为
信息表格，

x=roots([1,0,0,0,0,0,-1])%求方程x-1=0的根

x=
-1.0000
-0.5000+0.8660i
-0.5000-0.8660i
0.5000+0.8660i
0.5000-0.8660i
1.0000

我们知道方程x-1=0的六个根分布在单位圆上，
其表示一个单位圆，
因为
先画一个单位圆

t=0:.01:2*pi;%在[0,2pi]上取离散值,采样间隔为0.01
plot(exp(i*t))%画单位圆
axissquare

最后把方程x-1=0的六个根叠加在单位圆上。

holdon
plot(real(x),imag(x),'o')
title('方程x-1=0的六个根')

幻方问题：
在公元前2200年的大禹治水时代，就已观察到神龟背上的3阶幻方。
数学游戏幻方问题：给定自然数1，2，...，将其排成n阶方阵，要求每行、每列和每条对角线上个数字之和都相等。这样的n阶方阵称为n阶幻方。每一行（或列、或对角线）之和称为幻和。例下面的表格是一个3阶幻方，其幻和等于15。

只要键入magic(3)就可得到.

人们不禁要问：
存在性问题：即n阶幻方是否存在？（例如2阶幻方就不存在）
计数问题：如果存在，对某个确定的n，这样的幻方有多少种？
构造问题：即枚举问题，亦即如何构造n阶幻方？
组合数学就是研究上述提出的问题的。

矩阵的除法与线性方程组的解:
在线性代数中，没有除法，只有逆矩阵。矩阵除法是MATLAB从逆矩阵的概念引伸来的。先介绍逆矩阵的定义，对于任意阶方阵A，如果能找到一个同阶的方阵V，使
AV=I，其中I为n阶的单位矩阵eye(n)，则V就是A的逆阵。数学符号表示为

逆阵V存在的条件是A的行列式det(A)不等于0，V的最古典的求法为高斯消去法，可参阅线性代数书。MATLAB已把它做成了内部函数inv，键入
V=inv(A)
就可得到A的逆矩阵。如果det(A)等于或很接近于零，MATIAB会显示出出错或警告信息：
“A矩阵病态（ill-conditioned），结果精度不可靠”。
现在来看线性方程组A*X=B，设X为未知矩阵，A为系数矩阵，在等式两端同时左乘inv(A)，即
inv(A)*A*X=inv(A)*B
等式左端inv(A)*A=I，I*X=X，因此上式成为
X=inv(A)*B=A\B
把A的逆阵左乘B，MATLAB就记作A\B，称之为“左除”。从A*X=B的阶数检验可知，B与A的行数相等，因此左除时的阶数检验条件是：两矩阵的行数必须相等。
如果原始方程的未知矩阵在左而系数矩阵在右，即
X*A=B
则按上述同样的方法可以写出
X=B*inv(A)=B/A
把A的逆阵右乘B，记作B/A，称之为“右除”。同理，右除时的阶数检验条件是：两矩阵的列数必须相等。这些结果可推广到A为非方阵。
例4：讨论Hilbert矩阵:
H(i,j)=，i=1，2，…，m；j=1，2，…，n。Hilbert方阵有特点：行列式小，条件数大（即坏条件问题），且阶数越大，越接近于奇异阵，试用它组成线性方程组，探讨方程组误差与奇异性的关系。
取:Hn*x=bn（即模型），其中：Hn为n阶Hilbert方阵，x=[1,1,…,1]'
（1）求Hn的行列式和条件数
（2）求bn
（3）由方程组:Hn*x1=bn求出x1且与x相比较，求出最大绝对误差。
（注：用长格式显示,且取n:420）。
解:
formatlong
forn=4:20
hn=hilb(n);
d=det(hn)
c=cond(hn)
xx=ones(n,1);
bn=hn*xx;
x=hn\bn
e=max(abs(xx-x))
pause(5)
end

例5：已知数据y为时间t的衰减指数曲线:
y(t)=c1+c2e(即模型集)，
由样本:
t=[0，0.3，0.8，1.1，1.6，2.3]'，
y=[0.82，0.72，0.63，0.6，0.55，0.5]'(即数据)，求出参数（即模型参数）c=[c1,c2]’的估计值（或拟合值）。
解：先用矩阵表示问题：

在命令窗口键入
t=[0.3.81.11.62.3]'；
y=[.8