热力学与统计物理试题及答案.pdf

一．填空题（共40分）
1．N个全同近独立粒子构成的热力学系统，如果每个粒子的自由度为r，
系统的自由度为（Nr）。系统的状态可以用（2Nr）维Г空间中的
一个代表点表示。

2对于处于平衡态的孤立系统，如果系统所有可能的微观状态数为Ω，
则每一微观状态出现的概率为（1/Ω），系统的熵为

（klnΩ）。

3．玻色统计与费米统计的区别在于系统中的粒子是否遵从（泡利不相容
原理）原理，其中（费米）系统的分布必须满足0≤fs≤1。

4．玻色系统和费米系统在满足（经典极限条件(或e-α<<1)或eα>>1）
条件时，可以使用玻尔兹曼统计。

dUadda
llll
5．ll给出内能变化的两个原因，其中（da）
ll
l
项描述传热，（ad）项描述做功。
ll
l

6．对粒子数守恒的玻色系统，温度下降会使粒子的化学势（升高）；
如果温度足够低，则会发生（玻色——爱因斯坦凝聚）。这时系统的
能量U＝（0），压强p＝（0），熵S＝（0）。
000

7．已知粒子遵从经典玻尔兹曼分布，其能量表达式为
1
(p2p2p2)ax2bx
2mxyz，粒子的平均能量为（2kT－

b2/4a）。

8．当温度（很低）或粒子数密度（很大）时，玻色系统与费米系统
的量子关联效应会很强。

9．如果系统的分布函数为ρ，系统在量子态s的能量为E，用ρ和E
ssss
表示：系统的平均能量为（EE），能量涨落为
ss
s
（(EE)2）（如写成E2(E)2也得分）。
ss
s

10．与宏观平衡态对应的是稳定系综，稳定系综的分布函数ρ具有特点
s
（dρ/dt=0或与时间无关等同样的意思也得分），同时ρ也满
ss
足归一化条件。

二．计算证明题（每题10分，共60分）

1．假定某种类型分子（设粒子可以分辨）的许可能及为0，ω，2ω，
3ω，。。。，而且都是非简并的，如果系统含有6个分子，问：

（1）与总能量3ω相联系的分布是什么样的分布？分布需要满足的条
件是什么？

N!
a
（2）根据公式al计算每种分布的微观态数Ω；
l
a!l
l
l

（3）确定各种分布的概率。

解：能级：ε，ε，ε，ε，…
1234

能量值：0，ω，2ω，3ω，…
简并度：1，1，1，1，…

分布数：a,a,a,a,…
1234

分布a要满足的条件为：aN6
ll
l

aE3
ll
l

满足上述条件的分布有：A：a5,0,0,1,0,...
l

B：a4,1,1,0,0,...
l

C：a3,3,0,0,0,...
l

6!
16;
A5!1!
6!
各分布对应的微观态数为：130;
B4!1!1!
6!
120
C3!3!

所有分布总的微观态数为：6302056
ABC

p/6/560.107;
AA
各分布对应的概率为：p/30/560.536;
BB
p/20/560.357;
CC

2．表面活性物质的分子在液面（面积为A）上做二维自由运动，可以看
作二维理想气体，设粒子的质量为m，总粒子数为N。

（1）求单粒子的配分函数Z；
1

（2）在平衡态，按玻尔兹曼分布率，写出位置在x到x＋dx，y到y＋
dy内，动量在p到p＋dp，p到p＋dp内的分子数dN；
xxxyyy

（3）写出分子按速度的分布；

（4）写出分子按速率的分布。

1A
22
ze(pxpy)dxdydpdp(2mkT)
解：（1）单粒子的配分函数2m
1h2xyh2

dxdydpdpNdxdydpdp
（2）dNe()xyexy
h2Zh2
1

（3）将（1）代入（2），并对dxdy积分，得分子按速度的分布为
m
m22
dNN()e2kT(vv)dvdv
v2kTxyxy

（4）有（3）可得分子按速率的分布为：

mv2mv2
mm
2N()e2kTvdvN()e2kTvdv
2kTkT

3．定域系含有N个近独立粒子，每个粒子有两个非简并能级ε＝－ε，
10
ε＝ε，其中ε大于零且为外参量y的函数。求：
200

（1）温度为T时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之比，并说明
在极端高温和极端低温时粒子数比的特点；

（2）系统的内能和热容量；

（3）极端高温和极端低温时系统的熵。


解：（1）单粒子的配分函数为：Zele1e2e0e0
1
l

Nee
处于基态的粒子数为：N1N0;
1
Ze0e0
1

Ne
