抵偿任意带高斯投影平面坐标系选择的研究.doc

抵偿任意带高斯投影平面坐标系选择的研究
2008-12-89:40:28新闻类别：地图制图论文

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摘要:根据最小二乘法原理，在使长度综合变形vs平方之和为最小的条件下直接求得长度变形抵偿值△S,，和相应的抵偿投影面
高程Hm,，抵偿零点Yo以及用于测边控制网实量边直接进行抵偿投影改正Vs，的计算公式。另在每千米抵偿投影长度变形小于2.5cm的条件下明确了抵偿任意带的分带宽度限值为110km.

关键词:最小二乘法;长度变形抵偿值;抵偿任意带宽度

一、前言

地图投影的方法有多种，各种方法都会因球面转换为平面产生系统性非线性变形。高斯投影是国际上普遍采用的投影方法，它具有保角映射之特点，长度变形随投影边地面高度和地理位置而异，在应用上则根据测量工程的需要和规范要求(每千米长度变形不应大于2.5em)，设法削弱和限制长度变形，如文献[1一3〕分别对高程抵偿面的选择问题作了一些有益探索，并给出了计算公式。
经对文献的仔细分析，认为给出的两种方法没有遵循最小二乘法原理，即没有在「VsVs〕为最小的前提下选取抵偿面和抵偿点，致使抵偿后综合变形总量由本来的正变形改成了负变形，这对本属真误差的变形来说，显然是不合理的，也违背了条件平差原则，这将从本文表1、表2中看到。对此，笔者提出一种利用最小二乘法原理与求函数平均值的算法，直接求得长度变形的抵偿值△sit，进而求出对应的抵偿投影面高程H.’和抵偿零点y。以及抵偿后综合变形vs，的计算公式，并对测区距中央子午线较远或测区东西范围较大(如东西向带状测区)时采用抵偿投影中央子午线的选择，任意带的分带宽度都作了较为详尽的分析，并推出了确切的计算公式。

二、长度变形抵偿值与抵偿后长度综合变形计算

1.高斯投影长度变形计算公式
由高斯投影知，将地面实量边长归算到参考椭球面上的变形△S，可按下式计算
AS,=一SH}/R’(1)
式中，S为归算边的长度;H为归算边高出参考椭球面的平均高程;R为归算边方向参考椭球面的曲率半径。可见，将地面实量长度归算到参考椭球面上，其长度总是缩短，且IASI{与H成正比。将参考椭球面上边长归算到高斯投影面上的变形△S2可按下式计算
os2=soyMi2Rm(2)
式中，S。为投影归算边长(So=S+ASI);y二为归算边两端点横坐标自然值的平均值;Rm为参考椭球面平均曲率半径。
显然，将椭球面上长度投影到高斯投影面上，其长度总是伸长，且△S:与Y-的平方成正比。由高斯投影知，长度综合变形vs等于两次投影变形之和，即
vs=AS,+OS2(3)
由此可见，高斯投影的本身其长度变形已有不同程度的抵消，现在的问题是如何才能使其达到最大限度的抵偿。
2.长度变形抵偿值与抵偿后长度综合变形计算
分析上面3式，可见决定V、大小的是△S1和Os2。容易看出，当测区内YE('min,Y..)确定后，其对应的△5:便有相应定值，那么△S;就是确定vs的惟一因子。因以上公式中△S1相对于S很小，R与Rm极为接近，对计算结果影响甚微，故下文中将S。取为S,R.取为R，取值为6371km,现令S1=S:二⋯二Sn，则相应有△Sill=AS,,:二“’=AS,,。于是式(3)可改写为
Vs,i=AS,+OS2,i(4)
很明显，上式中，AS2,‘是Vs,、的对应定量，满足厂Vsys〕为最小的△S;是一未知常量(设为△SIP)根据最小二乘法原理「VsvsI=Vs,1+v2,2+⋯+v2s,。=(AS,,+(As,,+os2,2)2+⋯+(ASl'+OS2,.)2+AS2,1)2=最小应用函数求极值的方法，对上式△.S,，取一阶导数等于零并整理后得
AS,'=一[OS2]/n=一△S2(5)
根据定积分中值定理对式(2)求平均值
Ll32=—
Amax一yminJ,-.y-.Y“2_YR22dym-
晶‘几一十，maxymin+几in)
于是
*。，:下;;-sAS,'=一△S:二一六2(YyZmax十YmaxYmin+yZmin)6R’了’“队J’“以J’”“，j“It”，
(6)
式(6)就是长度变形抵偿值△S,‘的计算公式。
将式(2)、式(6)代人式(3)中，便得抵偿后长度综合变形(设为VS1
VS二一6R2kYmax+YmaxYmin+Ymin)+S扮=
S，，，，，、，_、
6R2ksYm一Y;m.一ymaxymin一Ymin少(7)
利用式(7)可直接对测边控制网进行抵偿投影计算。将式(6)代入式(1)中，便得到抵偿高(设为HO)
，;_1，2
Ho“益(Ymax+Ymaxymin+Y，min)(8)式(8