模糊数学在数模中的应用.pdf

第:5卷第，期数学的实践与认识Vol.35No.4
2005年4月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYApril,2005

尹
内》，》》》》，》，，》》、
内
八
内建模
、............."

模糊数学在数学建模中的应用

陈伟

(上海大学理学院数学系，上海200444)

摘要:主要讨论模糊数学在数学建模课程和数学建模竟赛中的应用问题.在数学建模中应当引进模糊数
学方法.可以得到一些计算较为简单，更符合实际情况的数学模型.
关键词:数学建模;模糊数学;模糊聚类;模糊规划;模糊预测

目前，数学建模课程已在各高校普遍开设，人们也越来越关注数学建模竞赛.微分方
程、概率统计、图论、数学规划等是较为常用的建模方法.而模糊数学方法的运用就相对较
少.模糊数学是1965年由美国控制论专家L.A.Zadeh创立的.几十年来它有了很大的发
展，显示了强大的生命力.在理论发展的同时，它的运用也日益广泛.本文就模糊数学在数
学建模中的应用作一点探讨.

1在数学建模中应用模糊数学方法的必要性
我们认为，由于以下几方面的原因，在数学建模课程和竞赛中引进模糊数学方法是很有
必要的.
第一，数学建模的意义在于将数学理论应用于实际问题.而模糊数学作为一种较新的
理论，本身就有其巨大的应用背景，国内外每年都有大量的相关论文发表，解决了许多实际
问题.目前在数学建模中较少运用模糊数学方法的原因不在于模糊数学理论本身有问题，
而在于最新的研究成果没有在第一时间进人数学建模的教科书中.就其理论本身所具有的
实用性的特点而言，模糊数学应该有助于我们解决建模过程中的实际问题.
第二，数学建模的要求是模型与实际问题尽可能相符对实际问题有这样一种分类方
式:白色问题、灰色问题和黑色问题.白色问题主要是指力学、热学、电学等一些机理较为清
楚的问题，这方面的模型大多已经基本确定.灰色问题主要是指生态、气象、地质等领域中
机理尚不十分清楚的现象，在建立和改善模型方面还不同程度地有许多工作要做.黑色问
题则主要是指生命科学、经济学、社会学等领域中一些因素较多，各种数量关系较为复杂的
问题.毫无疑问，引进新的方法对解决这些问题大有裨益.在灰色问题和黑色问题中有很
多现象是用“模糊”的自然语言描述的.在这种情况下，用模糊的模型也许更符和实际.
第三，数学建模活动的目的之一是培养学生的创新精神.用新理论、新方法解题应该受
到鼓励.近年来，用神经网络法、层次分析法等新方法建立模型的论文屡有获奖，这也说明了
评牢行对新方法的重视‘我们相信，模糊数学方法应用得好，同样能够写出优秀的论文.

收稿日期:2002-04-19
数学的实践与认识35卷

2目前在数学建模中对模糊数学的应用简介
模糊数学有诸多分支，应用广泛.如模糊规划、模糊优化设计、综合评判、模糊聚类分
析、模糊排序等等.这些方法在工业、军事、管理等诸多领域被广泛应用，但目前还很少被数
学建模的教科书所采用.[1〕中介绍了用模糊聚类方法解决足球队的排名问题(CMCM-93B
问题)的案例.它的主要步骤为:第一步，确定各参赛队的特征指标V,;.它是T、队和T，队在
直接比赛中，两队积分之比.第二步，数据标准化处理.公式为U;，二(V,;-minV,;)/(maxV;;

艺Zlk·艺ttik第四步，将
minV;;.第三步，计“”糊相”矩阵“一(r;;),rr;=豁叼k=1汤=1
R改造成模糊等价矩阵(通常是R与自身做若干次模糊合成，元素间的运算是取大和取小).
第五步，分类，取不同的阀值又，得一系列分类结果.第六步，排名次.将几逐步减小，由逐次
得到的分类结果即可排出名次.
从以上过程可以看出，模糊聚类方法的思维过程比较符合人们的习惯.与较为常见的
解决排名问题的层次分析法相比，模糊聚类方法的一个显著特点是运算简单.此法可用于
任何竞赛、评估等方面的名次排定.
另外，[2〕介绍了模糊优化设计的案例.模糊优化可归结为求解一个模糊数学规划问
题，它通常包含设计变量、目标函数和约束条件三个要素.由于模糊所涉及的模糊因素，往
往包含在约束条件之中，如性能约束、人文因素约束等，所以〔2〕中所述的模糊优化设计，主
要是指具有有模糊约束的优化设计.它的基本思想是把模糊优化转化为普通优化.方法可
分为两类:一类是给出一个模糊解，另一类是给出一个特定的清晰解.限于篇幅，具体模型
及解法参见「2].

3对模糊数学在数学建模中应用前景的展望
通过对数学建模竞赛案例的分析，我们认为在数学建模的教学中，适当增加模糊数学基
本理论的教学是可行的.在数学建模竞赛中，从学生的实际情况出发，可以考虑从以下两个
途径尝试运用模糊数学理论解题.
途径一，充分发挥模糊数学中数值计算较为简单的特点，建立既符合实际，又能较快