数学模型在生态系统的应用研究.pdf

http://www.paper.edu.cn

数学模型在生态系统的应用研究

蔡卫
中国矿业大学，江苏徐州（221008）
E-mail：[e-mail]
摘要:本文研究的是种群在一定的生态系统中数量消长的问题，考虑到种群的增长只受环
境承载能力的影响；受种群间相互竞争、相互依存、竞争合作以及捕食等方面的制约。因此，
本文建立了种群间互动关系的Logistic模型、相互竞争模型、共生模型、竞争合作模型和捕
食模型,并且对这些模型进行初步的生态学分析。
关键词：种群，数学模型，生态环境，竞争合作
中图分类号：Q148

1.引言
随着我国经济的发展，环境受到人类的破坏越来越严重，人们逐渐意识到环境的重要性。
野生动物的生长受到环境的制约，特别人们生活对环境的干预加大。近年来，许多生态学专
家研究一些野生动物的生长规律，取得了很好的成就，为人类对野生动物的保护打下了坚实
的理论基础。本文利用生态学知识，将自然界种群间的关系定义为：相互竞争、相互依存、
竞争合作以及捕食等关系，然后建立数学模型，量化生物种群增长受环境制约的关系，为研
究种群长期的生存和发展提供了理论依据。
2.种群数学模型的构建和分析

2.1种群增长的Logistic模型
假设种群的生长只受环境承载能力的影响，与其他因素无关；种群是在有限的环境中生
长的；种群该地区的空间范围是封闭的,即在所研究的时间范围内不存在迁移的现象。用
N()t代表种群在时间t的数量，则假设种群N(t)只是时间t的函数，且N()t是连续和充分

•
•N
光滑的。那么它的导数dN（N）给出了这个种群的增长率。而则给出了种群个体的平
dtN
均增长率。记r()N为个体的平均增长率，K为种群在此环境中总的饱和水平，r为种群个
体的内禀增长率[1]，则r()N应该是种群大小的一个减函数，为了简单起见，假设r()N为N
⎛N⎞
的线性减函数，则r(N)=r⎜1−⎟，并且存在一个饱和水平K>0，使r()K=0。
⎝K⎠
于是可以得到如下种群增长的模型：
dNN
=r(1−)N
dtK
（1）利用分离变量法和分项分式，得到方程（1）的解析解为：

KK−N0
N(t)=c=
−rtN
1+ce，0

K−N0
其中c——c=，N0——（t=0）时种群的个体数量
N0
[1]
Logistic模型种群数量随时间增长曲线如图所示：

-1-
http://www.paper.edu.cn

图1种群数量随时间增长曲线
Fig1Kindsamountwiththegrowthcurveintime
2.2种群的相互竞争模型
种群Logistic模型只描述了给定环境中单个种群数量增长的演变过程,而在实际生态环境
中,更多的情况下是一个环境中有两个或两个以上种群生存,那么这些企业之间就要存在相
互竞争,或相互依存,或弱肉强食的关系。为了分析的简便,本文只考察自然生态系统中两个
种群相互关系(以下同)。
假定种群1和种群2独自在一个生态系统中生存时,两个种群数量增长演变均遵循

Logistic规律。记x1(t)、x2()t分别是两个种群的数量,r1、r2是两个种群的增长率,N1、N2
是它们数量的最大增长量。种群1和种群2在一个环境中生存时,存在着相互竞争关系,相
互影响对方的产出量,建立的模型[2]为：

⎧dx1⎛x1x2⎞
⎪=r1x1⎜1−−q1⎟
dt⎜NN⎟
⎪⎝12⎠
⎨
dx⎛xx⎞
⎪2=rx⎜1−2−q1⎟
⎪22⎜2⎟
⎩dt⎝N2N1⎠
⎛x⎞
其中因子1反映由于种群1对于生态系统有限资源的消耗而导致的对它本身增
⎜1−⎟
⎝N1⎠
长量的阻滞作用。由于种群2是在同一环境中生存,它消耗环境中相同的有限资源对种群1

x2
产生影响因子为−q1,其中q1表示单位数量的种群2(相对于N2而言)消耗的供养种群
N2

1的资源为单位数量的种群1(相对于N1而言)消耗的供养种群1的资源的q1倍。类似地,
对种群2中的各因子可作相应的解释。

2.3种群相互依存模型
假设种群1生存能力比种群2的大的多，种群1可以独立存在，其种群增长数量按
Logistic模型规律增长,种群2为种群1提供必要的资源，有助于种群1的生存。种群2没

-2-
http://www.paper.edu.cn

有种群1存在会死亡，方程中的r2为其种群数量的负增长率,如果没有种群1,种群2单独
存在的生态系统中,其产出水平可以描述为:
dx
2=−rx
dt22
由于种群1的存在,对种群2意味着直接的生存环境的扩大、稳定的生存条件的需求,这样
种群2的增长水平可以描述为:
dx⎛x⎞
2⎜1⎟
=r2x2⎜−1+q2⎟
dt⎝N1⎠

这里q2表示每单位种群1生态环境饱和度对种群