单摆的基础实验.doc

实验三单摆的基础实验

单摆是由一摆线连着重量为mg的摆锤所组成的力学系统，是力学基础教科书中都要讨论的一个力学模型。当年伽利略在观察比萨教堂中的吊灯摆动时发现，摆长一定的摆，其摆动‘周期不因摆角而变化，因此可用它来计时，后来惠更斯利用了伽利略的这个观察结果，发明了摆钟。如今进行的单摆实验，是要进一步精确地研究该力学系统所包含的力学线性和非线性运动行为。

一实验目的
1、学会使用计时器和米尺，测准摆的周期和摆长。
2、验证摆长与周期的关系,掌握使用单摆测量当地重力加速度的方法。
3、初步了解误差的传递和合成。

二仪器与用具
单摆实验装置，计时器，米尺。
三实验原理

1利用单摆测量当地的重力加速度值g
用一不可伸长的轻线悬挂一小球，作幅角很小的摆动就是一单摆。如图1所示。
设小球的质量为m，其质心到摆的支点的距离为(摆长)。作用在小球上的切向力的大小为，它总指向平衡点。当角很小，则，切向力的大小为，按牛顿第二定律，质点的运动方程为
，即，
因为，所以
，(1)
这是一简谐运动方程(参阅普通物理学中的简谐振动)，(1)式的解为
，（2）
，（3）
式中,为振幅，为幅角，为角频率（固有频率），为周期。可见，单摆在摆角很小，不计阻力时的摆动为简谐振动，简谐振动是一切线性振动系统的共同特性，它们都以自己的固有频率作正弦振动，与此同类的系统有：线性弹簧上的振子，LC振荡回路中的电流，微波与光学谐振腔中的电磁场，电子围绕原子核的运动等，因此单摆的线性振动，是具有代表性的。由（3）式可知该简谐振动固有角频率的平方等于，由此得出
，，(4)

由（4）式可知，周期只与摆长有关。实验时，测量一个周期的相对误差较大，一般是测量连续摆动n个周期的时间t，由（4）式得
，(5)
式中和n不考虑误差，因此（5）式的误差传递公式为
，(6)
从上式可以看出，在、大体一定的情况下，增大和t对测量g有利。

四实验内容
分别用米尺和游标卡尺,测量摆线长和摆球的半径.摆长等于摆线长加摆球的半径。
当摆球的振幅小于摆长的时，摆角。
如果用停表测量周期,当摆锤过平衡位置时，按表计时，握停表的手和小球同步运动，为了防止数错n值，应在计时开始时数“零”，以后每过一个周期，数1，2，…，n。以减少测量周期的误差。
如果用计时器测量周期,参见附录2有关计时器的使用.
重力加速度g的测量
实验方案一:
改变单摆的摆长，测量在的情况下，连续摆动n次的时间t,填入表1中。
表1:改变摆长，在的情况下，连续摆动20次时间t的测量结果
摆长(cm)60.0070.0080.0090.00100.00110.00周期T20(s)周期T20(s)周期T20(s)周期T(s)T2表1的测量数据,有二种处理方法:
作图法:根据表1的数据,作--T2直线,在直线上取二点A和B,求直线斜率,由（4）式知
，（7）
根据（7）式求重力加速度g.
计算法:根据表1的数据,分别计算,不同摆长的重力加速度g1,g2,g3,g4,g5,g6,然后取平均,再计算不确定度.

实验方案二:
不改变单摆的摆长，测量在的情况下，连续摆动n次的时间t。参考“六测量举例”处理实验数据。
6测量同一摆长不同摆角下的周期T，比较摆角对T的影响。
表2摆角对周期T的影响
摆角θ（度）25101520253035404550556065707580周期T(s)
五回答问题
1、设单摆摆角接近时的周期为，任意摆角时周期T，二周期间的关系近似为
，
若在条件下测得T值，将给g值引入多大的相对误差？
2、有一摆长很长的单摆，不许直接去测量摆长，你设法用测时间的工具测出摆长？
六测量举例
用单摆测g
表3用游标卡尺测求的直径d
d(cm)2.6952.690表4用米尺测摆线长
4.554.514.604.57116.80116.75116.90116.85113.60113.59113.65113.63表5用电子秒表或用计时器测n=50的t值
t(s)106.84106.87106.95106.85106.82106.93，
，
已知，
结果，
上述结果中的仅为标准偏差，未估计其它的不确定度。

选作部分单摆的设计性实验

一实验目的
1、学会用相图法探究单摆的运动行为。
2、改变摆线和摆球,考查阻力对单摆运动行为的影响。
二实验原理
单摆的线性振动是一种近似，实际上，单摆在振动的过程中，既受到阻力又与摆角有关，在小阻尼条件下，可认为单摆所受到的阻尼力与摆的速度成正比，因此，在单摆的运动方程中加进了阻尼力项后，其动力学方程为：
，（8）
式中，第二项就是单摆受到的阻尼力，为阻尼系数，在小阻尼条件下，可视为常数，取，为无量级阻尼系数，由（8）式，得
，（9）
（9）式为一非线性方程。物体运动的非线性行为比较复杂，下面我们讨论（