高等数学教学中计算机模拟技术的实现和应用.pdf

第30卷第2期海南大学学报自然科学版Vol．30No．2
2012年6月NATURALSCIENCEJOURNALOFHAINANUNIVERSITYJun.2012

文章编号:1004－1729(2012)02－0114－05
高等数学教学中计算机模拟技术的实现和应用

王浩华1，叶丹2

(1．海南大学信息科学技术学院，海南海口570228;2．浠水县第一中学，湖北黄冈438200)

摘要:介绍了计算机模拟技术在高等数学教学中应用的基本原理和方法，并给出了其算法的改进，提高了
计算结果的精度．同时，结合高等数学中的一些实例，借助MAtlAb软件使之得以实现．在计算机模拟技术的演
示下，使学生加深对高等数学概念、思想的理解，进而培养学生的数学思维能力．
关键词:计算机模拟;Monte-CArlo算法;高等数学;教学
中图分类号:TP39文献标志码:A

随着现代科学的发展，高等数学已经成为自然科学发展的理论基石．如何在高等数学教学过程中，向
学生深层次地展示高等数学所蕴含的基本思想，已成为众多教学工作者研究的热点．利用计算机模拟技
术来诠释高等数学中的基本思想也成为一项新兴的课题．笔者结合高等数学中一些常见的问题，借助计
算机模拟技术，不仅解决了高等数学中的一类问题，而且通过计算机的演示，还能加深学生对高等数学概
念、思想的理解．

1Monte-Carlo的数学根源及其改进

1．1Monte-Carlo算法求积分的一般规则计算机随机模拟技术又称为Monte-CArlo算法，其基本思想
如下:

设欲求积分I=f(p)dp，其中，D表示积分区域，取D上任一联合概率密度函数ρ(p)，令
∫D
f(p)/ρ(p)，ρ(p)≠0
F(p)={，
0，ρ(p)=0
设，，，为上的随机样本，密度函数为()，设()［()］，则有^
p1p2…pnDρpI=fpdp=EFp＜+∞I≈Fn=
∫D
n
1()，即算术平均值就是积分的近似值
∑Fpi．
ni=1
一般地，设的体积(二维则为面积)为，则概率密度函数
DVD
1
，pD
()V
ρp={D．
0，其他
这时()()，因而得
Fp=VD·fp
nVn
^1()D()^()()
I≈Fn=∑Fpi=∑fpi=VD·fp1
ni=1ni=1

收稿日期:2011－10－13
基金项目:海南省教育厅高校科研资助项目(Hjsk2011－23);海南大学教育教学科研资助项目(hdjy1005)
作者简介:王浩华(1981－)，男，湖北天门人，海南大学信息科学技术学院讲师，硕士．
第2期王浩华等:高等数学教学中计算机模拟技术的实现和应用115

称式(1)为求积分的Monte-CArlo算法，当n→∞时，由中心极限定理有
{^}，
PlimFn=I=1
n→∞
当X的概率分布为ρ(x)，a≤x≤b，则
b
E(f(X))=f(x)ρ(x)dx．
∫a
特别地，当X为(0，1)上的均匀分布时，ρ(x)=1
1n
()(())1()，()
fxdx=EfX≈∑fxk2
∫0nk=1
当计算在任意区间(a，b)上积分时，要先作代换，将x=a+(b－a)u化为(0，1)上的积分
11n
()()(())b－a(())，()
fxdx=b－afa+b－audu≈∑fa+b－auk3
∫0∫0nk=1
其中，(，，，)为(，)上的随机数
ukk=12…n01．
1．2提高Monte-Carlo算法计算积分的精度Monte-CArlo算法具有众多优点:1)收敛速度不依赖外界
指标;2)与积分区域D的选取无关;3)程序结构简单，易于实现．因此，Monte-CArlo算法成为处理高维积
分和复杂积分强有力的近似计算工具．
Monte-CArlo算法也存在缺点:1)随机数的均匀性直接影响其结果;2)收敛速度慢;3)误差是概率误
差，不是真正的误差．
因此，为了提高近似计算的精度，可将Monte-CArlo算法与数值算法相结合，以提高结果的精度．
2
［］
例14求定积分槡4－x2dx．
∫0
解由式(3)，a=0，b=2，取n=10000，考虑到Monte-CArlo算法随机模拟的特点，分别模拟5次，
MAtlAb编程可得计算结果，如表1所示．

表1Monte-Carlo算法随机模拟结果

模拟次数12345精确值
模拟结果3．12373．13733．13613．12793．1343π

用Monte-CArlo算法结合数值积分算法．即NeWton-Cotes公式，仍取n=10000，仍模拟5次，结果如表
2所示．
表2Monte-Carlo算法结合数值积分算法随机模拟结果［4］

模拟次数12345精确值
模拟结果3．141593．141593．141593．141593．14159π

由上述结果