南京大学数学分析高等代数考研真题与解析.pdf

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南京大学数学分析，高等代数考研真题

南京大学2002年数学分析考研试题

一求下列极限。
x
(1xcos
x)
（1）lim2
；
xx
(sinxsin)ln(1x)
2

（2）设f(x)xln(ax)，x(,a)，

(
（i）f(x)在,a)上的最大值；

f(x)，(n2,3,)，求limx。
（ii）设x1lna，x2ln(ax1)，xn1nn
n

1
二设f(x)sinxf(x)在[2,)
，试证明内有无穷多个零点。
lnx
f(x)
0
，lim2，
三设f(x)在x0的某个邻域内连续，且f(0)

1cosx
（1）求f(0)；x0

f(x)
（2）求lim2；
x
x0

（3）证明f(x)在点x0处取得最小值。
f(x)

0的某个邻域内具有二阶连续导数，且lim0
四设f(x)在x，试证明：
x0x

(0)0
（1）f(0)f；

1)
（2）级数f(绝对收敛。
n
n1

五计算下列积分

xex
；
dx
（1）求ex1

yzdxdyS221
（2）Izxdydzxydzdx，其中是圆柱面xy，三个坐标平面及
S
222
旋转抛物面zxy所围立体的第一象限部分的外侧曲面。

六设f(x)C[a,b]，f(x)在(a,b)内可导，f(x)不恒等于常数，且f(a)f(b)，

试证明：在(a,b)内至少存在一点，使f()0。

七在变力Fyzizxjxyk的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面

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x2y2z2
1,
222
abc
WW
,
,,)(,,)
第一象限的点M(问取何值时，F所做的功最大，并求的最大值。

(1x)ex
八（1）证明：n，(nN,0xn)；
n
x

n(1)nx2dx。
（2）求lim
n0n

南京大学2002年数学分析考研试题解答

x
(1x)xcos

一（1）解lim2
x
x0x)
(sinxsin)ln(1
2
x
xcos
(1x)
21
lim
2
xx
x0
sinxsin
21
ln(1x
xx)

x
ex))sin1
xln(1(ln(1x)x
122
2limx
x02x
x
sin
1
xln(1x)x1)
lim[e(ln(1x)2]
x01
x2x
1
2
4

9
.
4

1a1x
（2）解（）f(x)1
i,

axax
0(
当时，f(x)，f(x)在,a1]上单增，
1
xa
10
当axa时，f(x)，f(x)在[a1,a)上单减，

xa11)1
所以f(x)在处达到最大值，f(aa；

101)1
（ii）当a时，x1lnaln(1aa，

1ax1a，

0)
x2ln(ax1lnaa1，

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)
x3f(x2f(a1)a1，

11
xna，axn，

xln(ax)x，{x}limxA，则有
xn1nnnn单调递增有上界，设n
n
a1Aa1
AAln(aA)，A，，

1
limxna；
n
10limx0
当a时，xn，n；
n

010
当a时，x1lna，x1lnaln(1a1)a1，

1
ax1，
f(2n1
证明因为)10
二，
2)
ln(2n
2

1
f(2n)10，(n1,2,)，
2)
ln(2n
2

[2,)
显然f(x)在上连续，由连续函数的介值定理知，存在

(2n,n2使得)
n22

)1,2,)
f(n0(n，

[2,
即得f(x)在)上有无穷多个零点。

2
三解（1）2limf(x)limf(x)x，

12
x0cosxx1cosx
x0
221
因为limx，所以limf(x)，
1cosxx2
x0x0
f(x)f(x)
limlim(x)0，

2
x0xx0x

limf(x)0
f(0)limf(x)，
x0x0x0x

0
于是f(0)；
1
f(x)f(x)
1知，存在0，当0x时，f(0)，
（3）由lim，f(x)
x2
0x2
x2

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0处取得极小值。M
即知f(x)中在xsupf(x)
x
f(x)
lim
四、证明（1）由f(x)lim0f(0)0
x，知，
x0x0x

0(0)0
由limf(x)f(0)limf(x)知f.
0x00x
xx
11111
（2）f()(0)1()f()，
f(0)ffn2n2
22
nnnn
1M1M1sup()
)，已知收敛，其中Mf，

f(22x
n2n2n
n1x
1
f()
于是收敛，结论得证。
n
n1

x23
x2
五（1）解xedxx[(e1)]dx
x13