从命题逻辑到谓词逻辑.doc

从命题逻辑到谓词逻辑

命题逻辑研究的基本元素是命题。命题是有真假意义的一句话，而对这句话的结构和成分是不考虑的。因此，用这样简单的手段，很多思维过程不能在命题逻辑中表达出来。例如，逻辑学中著名的三段论：凡人必死张三是人张三必死在命题逻辑中就无法表示这种推理过程。因为，如果用P代表“凡人必死”这个命题，Q代表“张三是人”这个命题，R代表“张三必死”这个命题，则按照三段论，R应该是P和Q的逻辑结果。但是，在命题逻辑中，R却不是P和Q的逻辑结果，因为公式P∧Q→R显然不是恒真的，解释{P，Q，¬R}就能弄假上面的公式。发生这种情况的原因是：命题逻辑中描述出来的三段论，即PÙQ®R，使R成为一个与P，Q无关的独立命题。因此，取解释时，可将P，Q取真，R取假，从而弄假公式P∧Q→R。但是，实际上命题R是和命题P，Q有关系的，只是这种关系在命题逻辑中无法表示。因此，对命题的成分、结构和命题间的共同特性等需要做进一步的分析，这正是谓词逻辑所要研究的问题。为了表示出这三个命题的内在关系，我们需要引进谓词的概念。在谓词演算中，可将命题分解为谓词与个体两部分。例如，在前面的例子“张三是人”中的“是人”是谓语，称为谓词，“张三”是主语，称为个体。定义3.1.1可以独立存在的物体称为个体。（它可以是抽象的，也可以是具体的。）如人、学生、桌子、自然数等都可以做个体。在谓词演算中，个体通常在一个命题里表示思维对象。定义3.1.2设D是非空个体名称集合，定义在Dn上取值于{1，0}上的n元函数，称为n元命题函数或n元谓词。其中Dn表示集合D的n次笛卡尔乘积。一般地，一元谓词描述个体的性质，二元或多元谓词描述两个或多个个体间的关系。0元谓词中无个体，理解为就是命题，这样，谓词逻辑包括命题逻辑。下面我们举一个谓词的例子：令G(x，y)：“x高于y”，于是，G(x，y)是一个二元谓词。将x代以个体“张三”，y代以个体“李四”，则G(张三，李四)就是命题：“张三高于李四”。随便将x，y代以确定的个体，由G(x，y)都能得到一个命题。但是，G(x，y)不是命题，而是一个命题函数即谓词。于是，用谓词的概念可将三段论做如下的符号化：令H(x)表示“x是人”，M(x)表示“x必死”。则三段论的三个命题表示如下：P：H(x)→M(x)Q：H(张三)R：M(张三)那么，在命题逻辑的基础上，仅仅引进谓词的概念是否就可以了呢?下面的例子说明，仅有谓词还是不够的。例如我们想得到“命题”P的否定“命题”，应该就是“命题”ØP。但是，¬P=¬(H(x)→M(x))=¬(¬H(x)∨M(x))=H(x)∨¬M(x)亦即，“命题”P的否定“命题”是“所有人都不死”。这和人们日常对命题“所有人都必死”的否定的理解，相差得实在太远了。其原因在于，命题P的确切意思应该是：“对任意x，如果x是人，则x必死”。但是H(x)→M(x)中并没有确切的表示出“对任意x”这个意思，亦即H(x)®M(x)不是一个命题。因此，在谓词逻辑中除引进谓词外，还需要引进“对任意x”这个语句，及其对偶的语句“存在一个x”。定义3.1.3语句“对任意x”称为全称量词，记以∀x；语句“存在一个x”称为存在量词，记以∃x。这时，命题P就可确切地符号化如下：∀x(H(x)→M(x))命题P的否定命题为：¬P=¬(∀x(H(x)→M(x)))=∃x(H(x)∨¬M(x))亦即“有一个人是不死的”。这个命题确实是“所有人都要死”的否定。

¬P=¬(H(x)→M(x))=¬(¬H(x)∨M(x))=H(x)∨¬M(x)应为H(x)∧¬M(x)¬P=¬(∀x(H(x)→M(x)))=∃x(H(x)∨¬M(x))应为=∃x(H(x)∧¬M(x))---------------------------------------解释由于公式是由常量符号，变量符号，函数符号，谓词符号通过逻辑联结词和量词(当然还有括号)连结起来的抽象符号串，所以若不对它们(常量符号，变量符号，函数符号，谓词符号)给以具体解释，则公式是没有实在意思的。所谓给公式以解释，就是将公式中的常量符号指为常量，函数符号指为函数，谓词符号指为谓词。定义3.2.4谓词逻辑中公式G的一个解释I，是由非空区域D和对G中常量符号，函数符号，谓词符号以下列规则进行的一组指定组成：1.对每个常量符号，指定D中一个元素；2.对每个n元函数符号，指定一个函数，即指定Dn到D的一个映射；3.对每个n元谓词符号，指定一个谓词，即指定Dn到{0，1}的一个映射。定义3.2.5公式G称为可满足的，如果存在解释I，使G在I下取1值，简称I满足G。若I不满足G，则简称I弄假G。定义3.2.6公式G称为是恒假的(或不可满足的)，如果不存在解释I满足G；公式G称为恒真的，如果G的所有解释I都满足G。定义3