常微分方程初值问题的数值解法2.ppt

常微分方程初值问题的数值解法定义：初值问题的单步显式方法，若对于任意固定的有近似解yn满足极限 ，则称该单步法收敛。2整体截断误差与局部截断误差的关系二.由于假设为连续函数，因而上
式可以表示为结论：若显式单步法的阶大于或等于1，则该单步法与微分方程相容；反之，如果单步法与微分方程相容，且关于h满足Lipschitz条件，则单步法至少为一阶方法。定理：设增量函数在区域

中连续，并对变量y满足利普希茨条件，
则单步法收敛的充要条件为相容性条件成立。定义1用一个数值方法求解微分方程初值问题时，对给定步长h>0，若在计算时引入误差（也称扰动），由此引起计算后面的时误差绝对值均不增加，则称这个数值方法是绝对稳定的。
针对模型方程研究稳定性Remark1：在上面的定义中，可以取小于或等于关系符。取小于号是为了和线性多步法相一致。①Euler显式公式得绝对稳定区域③梯形公式线性多步法的基本思想：如果充分利用前面多步的信息预测yn+k，则可期望获得较高精度。若则为隐式方法，若则为显式方法对于隐式公式（），f(x,y)一般是非线性函数，故难以求解到yn+k的显示表达式，故常用迭代法求解：定义处的局部截断误差为关于局部截断误差定义的说明利用微分中值定理若,且即的首项与的首项相同，因此两种局部截断误差的定义相同。将方程两端从积分得其中系数计算取可得到Adams显式公式具体公式2：Adams隐式公式取k＝1，j=1，得到Nyström显式公式：线性
多步法局部截断误差对于Adams显式公式与隐式公式，由于当p=3时,Taylor展开法更具一般性。2024/8/21基于Taylor展开的构造方法（续）另一方面有2024/8/21