数学建模案例分析2.双层玻璃的功效.doc

数学建模

案例分析

双层玻璃的功效

北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层厚度为的玻璃夹着一层厚度为的空气，如左图所示，据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失.
我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失）过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如右图，玻璃厚度为）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果.

模型假设
热量的传播过程只有传导，没有对流.即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的；
室内温度和室外温度保持不变，热传导过程已处于稳定状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数；
玻璃材料均匀，热传导系数是常数.

符号说明
——室内温度
——室外温度
——单层玻璃厚度
——两层玻璃之间的空气厚度
——内层玻璃的外侧温度
——外层玻璃的内侧温度
——热传导系数
——热量损失
模型建立与求解
由物理学知道，在上述假设下，热传导过程遵从下面的物理规律：
厚度为的均匀介质，两侧温度差为，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量为，与成正比，与成反比，即
（1）
其中为热传导系数.
1.双层玻璃的热量流失
记双层窗内窗玻璃的外侧温度为，外层玻璃的内侧温度为，玻璃的热传导系数为，空气的热传导系数为，由（1）式单位时间单位面积的热量传导（热量流失）为：
（2）
由及可得
再代入就将（2）中、消去，变形可得：
（3）

2.单层玻璃的热量流失
对于厚度为的单层玻璃窗户，容易写出热量流失为：
（4）

单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较
比较（3）（4）有：（5）
显然，.
为了获得更具体的结果，我们需要的数据，从有关资料可知，不流通、干燥空气的热传导系数（J/cm.s.ºC），常用玻璃的热传导系数（J/cm.s.ºC），于是

在分析双层玻璃窗比单层玻璃窗可减少多少热量损失时，我们作最保守的估计，即取，由（3）（5）可得：
（6）
4.模型讨论
比值反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与有关，下图给出了的曲线，当由0增加时，迅速下降，而当超过一定值（比如）后下降缓慢，可见不宜选得过大.

四、模型的应用
这个模型具有一定的应用价值.制作双层玻璃窗虽然工艺复杂会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的.通常，建筑规范要求.按照这个模型，，即双层玻璃窗比用同样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量97%左右.不难发现，之所以有如此高的功效主要是由于层间空气的极低的热传导系数，而这要求空气是干燥、不流通的.作为模型假设的这个条件在实际环境下当然不可能完全满足，所以实际上双层玻璃窗的功效会比上述结果差一些.