高考数学(理)之立体几何与空间向量 专题03 空间点、线、面的位置关系.pdf

立体几何与空间向量

03空间点、线、面的位置关系
【考点讲解】

一、具体目标：
1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理；

2.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；

3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.

二、知识概述：

1.平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面

内)．

(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．

(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
2.空间两直线的位置关系

平行
共面直线
相交
直线与直线的位置关系的分类
异面直线：不同在任何一个平面内

直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．
平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
3.异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或
直角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．

②范围：(0,].
2

4.异面直线的判定方法：

判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；

反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．

5.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；

利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来
解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；

④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直
2

线所成的角．
求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．
【温馨提示】平面的基本性质，点、直线、平面之间的位置关系是高考试题主要考查知识点，题型除了选
择题或填空题外，往往在大题中结合平行关系、垂直关系或角的计算间接考查．

【真题分析】

1.【2019年高考全国Ⅲ卷】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，

M是线段ED的中点，则（）

A．BM=EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线

C．BM=EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线

【解析】本题主要考查的空间两条直线的位置关系问题，要求会构造三角形，讨论两直线是否共面，并通

过相应的计算确定两条直线的大小关系.如图所示，作EOCD于O，连接ON，BD，易得直线BM，EN是

三角形EBD的中线，是相交直线.过M作MFOD于F，连接BF，Q平面CDE平面ABCD，

EOCD,EO平面CDE，EO平面ABCD，MF平面ABCD，△MFB与△EON均为直角

35
三角形．设正方形边长为2，易知EO3,ON1,EN2，MF,BF,BM7，
22

BMEN，故选B．

【答案】B

2.【2018年高考全国Ⅱ卷理数】在长方体ABCDABCD中，ABBC1，AA3，则异面直线AD与
111111

DB所成角的余弦值为（）
1
1552
A．B．C．D．
5652

【解析】方法一：用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面，如图，则BP∥AD，连接DP，
11

易求得DBDP=5，BP2，则DBP是异面直线AD与DB所成的角，
11111

DB2BP2DP25455
由余弦定理可得cosDBP11.故选C.
12DBPB455
11

x,y,z
方法二：以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
uuuuruuuur
则D0,0,0,A1,0,0,B1,1,3,D0,0,3,所以AD1,0,3,DB1,1