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特征函数及其应用
摘要
在概率论和数理统计中,求独立随机变量和的分布问题是经常遇到的，经过人们不断的探索和研究，终于发现了另一个重要工具——特征函数，它是处理许多概率论问题的有力工具，它能把寻求独立随机变量和的分布的卷积运算（积分运算）转换成乘法运算，本文介绍了特征函数的基本概念、主要性质以及特函数的一系列应用.
[关键词]随机变量特征函数积分
ABSTRACT
Inprobabilitytheoryandmathematicalstatistics,findthedistributionofindependentrandomvariablesandtheproblemisoftenencounteredafterpeoplecontinuetoexploreandresearch,finallyfoundanotherimportanttool-characteristicfunction,itistodealwithmanyproblemsofprobabilitytheorypowerfultool,itcanseekindependentrandomvariablesandthedistributionofconvolution(integralcomputation)intoamultiplication,thisarticleintroducesthebasicconceptsofcharacteristicfunction,themaincharacterandthespecialfunctionofthenumberofapplications.
[KeyWords]Randomvariable,Characteristicfunction,Integration

目录
TOC\o"1-3"\h\z\uHYPERLINK\l"_Toc263502514"一、引言 PAGEREF_Toc263502514\h1
HYPERLINK\l"_Toc263502515"二、特征函数的定义 PAGEREF_Toc263502515\h2
HYPERLINK\l"_Toc263502516"三、常用分布的特征函数 PAGEREF_Toc263502516\h2
HYPERLINK\l"_Toc263502517"四、特征函数的主要性质 PAGEREF_Toc263502517\h3
HYPERLINK\l"_Toc263502518"五、特征函数的应用 PAGEREF_Toc263502518\h6
HYPERLINK\l"_Toc263502519"六、结论 PAGEREF_Toc263502519\h10
HYPERLINK\l"_Toc263502520"参考文献 PAGEREF_Toc263502520\h11
HYPERLINK\l"_Toc263502521"致谢 PAGEREF_Toc263502521\h12

特征函数及其应用
一、引言
随机变量是数学研究中经常遇到的一项重要内容。随机变量的分布函数则可以全面的描述随机变量的统计规律，但是，有时候分布函数或分布密度这些工具使用起来并不方便，如求独立随机变量和的分布密度，用卷积求太烦琐和复杂，这里将从介绍特征函数的定义、性质出发,介绍如何用特征函数更方便、优越的表示随机变量的分布,并在随机变量的基本性质引导下,讨论并阐述特征函数的各种应用.特征函数也是概率论中研究极限定理的重要工具。

.
二、特征函数的定义
设是一个随机变量，称
,,
为的特征函数.
因为，所以总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是存在的.
当离散随机变量的分布列为，则的特征函数为
,.
当连续随机变量的密度函数为,则的特征函数为
,.
与随机变量的数学期望，方差及各阶矩阵一样，特征函数只依赖于随机变量的分布，分布相同则特征函数也相同，所以我们也常称为某分布的特征函数.
三、常用分布的特征函数
1、单点分布：其特征函数为

2、分布：，其特征函数为
，其中.3、泊松分布：，k=0,1，，其特征函数为

.
4、均匀分布：因为密度函数为

所以特征函数为
.
5、标准正态分布：因为密度函数为
，.
所以特征函数为

=.
其中.
四、特征函数的主要性质
现在我们来研究一下特征函数的一些性质，其中表示的特征函数.
1、.
证明
=.
2、,其中表示的共轭.
证明=.
3、若Y=,其中，是常数，则
.
证明.
4、独立随机变量和的特征函数为特征函数的积，即设与相互独立，则
.
证明因为与相互独立，所以与也是相互独立的，从