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第37卷第2期厦门大学学报(自然科学版)Vol.37No.2
1998年3月JournalofXiamenUniversity(NaturalScience)Mar.1998

肿瘤方程组的非负解①

杨世广钦
(厦门大学数学系厦门361005)

摘要证明肿瘤方程组非负解的唯一性及局部存在性.
关键词肿瘤方程组,唯一性,存在性
中国图书分类号O174.26

研究表明,固态肿瘤在其成长初期,内部无血管,处于“昏睡”状态.在一定环境条件下,肿
瘤会分泌出一种称为肿瘤血管再造因子(TumourAngiogenesisFactor,以下简称为TAF)的
化学物质,它剌激周围正常组织,使其上血管逐渐“发芽”,伸入到肿瘤内部.于是,肿瘤进入有
血管状态,开始迅速长大.以下的肿瘤方程组
auv
ut-uxx+Ku=-,(x,t)∈QT
C+u(1)

vt-Dvxx+Bv=-K(vux)x+bv(1-v)G(u)
描述了内皮细胞在TAF的作用下发生迁移及增生的过程,它是Chaplain与Stuart于1993年提出
[1]
的,其中QT=8E(0,T],8=(0,1),u(x,t)表示TAF的浓度,而v(x,t)代表内皮细胞的浓度,a,
0,s≤s3
b,D,K,B与C均为正常数.G(s)=是一个开关函数,s3∈(0,1).
s-s3,s>s3
给定初边值条件
u(0,t)=1,u(1,t)=0,v(0,t)=0,v(1,t)=1,t∈(0,T],(2)

u(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),x∈(0,1).(3)
2+A
0≤u0,v0≤1,u0,v0∈C(8),0<A<1(4)
且满足相容性条件:

u0(0)=1,u0(1)=0,v0(0)=0,v0(1)=1,

(u0)xxûx=0=K,(u0)xxûx=1=0,(5)

[Dv0xx-Kv0xu0x]x=0=0,[Dv0xx-Kv0xu0x]x=1=B.
本文证明了肿瘤方程组问题(1)、(2)非负解的唯一性,并应用Schauder不动点定理及L2,L

(QT)理论证明非负解的局部存在性.
1几个引理
2,L②
先给出几个有关抛物方程L(QT)理论的引理.
n
对Pz0(x0,t0)∈QT=8E(0,T](8是R中的有界区域).及r>0,记Qr(z0)=(Br(x0)∩

①本文1997207228收到:国家自然科学基金资助项目
②YinH.M.L2,L(Q)2estimatesforparabolicequationsandapplications.IMApreprintseriesnunber
1092,1992
第2期杨世广钦:肿瘤方程组的非负解·761·

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8E(t0-r,t0),其中Br(x0)是以x0为心、r为半径的n维球,uz0,r=udz.
ûQr(z0)û

Q(z)
∫r0
1
2

-L2
z,r
定义[u]2,L,QT=suprûu-u0ûdz(L>0),
z0∈QT,r>0

Q(z)
∫r0
2,L2
L(QT)={u(x,t)ûu∈L(QT),[u]2,L,QT<∞},
1
22
22
并赋予范数‖‖‖‖()它是一个空间
u2,L,QT={uLQT+[u]2,L,QT}.Banach.
L
2,n+2+2LL,
引理1当L∈(0,1)时,L(QT)与C2(QT)是拓扑及代数同构的.
∞2,L∞2,L
引理2若0<L≤n+2,则L(QT)<L(QT)且L(QT)是L(QT)的乘子空间.也
2,L∞
即若u∈L(QT),v∈L(QT),则

2,L∞
∈且‖‖≤‖‖()‖‖
uvL(QT)uv2,L,QTCvLQTu2,L,QT.
引理3设u(x,t)∈L2(0,T;H1(8))是问题
nnn
55u5u5fi
ut-∑(aij+aiu)+∑bi+cu=∑+f0,(x,t)∈QT,
i=15xi5xji=15xii=15xi

uû#T=W(x,t)
n
1∞2
的弱解,其中#T为QT的抛物边界,5D∈C,ai,bi,c∈L(QT),0<a0ûNû≤∑aijNiNj≤
i,g=1
2n
A0ûNû,PN∈R.则存在常数D0∈(0,1),使对P0<L<L0=n+2D0,若F(x,t)=(f1,⋯,fn,
2,Ln+1
f0)及DW=(Wt,ýW)∈(L(QT)),则有
n
+
‖‖2,,Q≤(‖i‖2,,Q‖x‖2,,Q)‖0‖2,(-2),Q
ýuLTC∑fLT+WiLT+fLT
i=1

‖‖()+‖‖2(1())
+CWt2,L-2,QT+uL0,T;H8.
A
A,,A
特别地当时有∈2v且‖‖A2()≤‖‖其中常数仅依赖于
,n<L<L0,uCQTuCQTCýu2,L,QT,,C

∞∞∞L-n
a0、A0、‖ai‖