江苏省扬州中学2014届高三开学检测数学试题.doc

扬州中学2013—2014学年高三开学检测
数学试卷2013.8
一．填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分）
1．在复平面内，复数（其中为虚数单位）对应的点位于第▲象限．
2．已知集合，，如果，则▲．
3．已知，，则▲．
4．设等比数列的各项均为正数，其前项和为．若，，，则___▲___．
5．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列正确命题的序号
是▲．
①.若，，则；②.若，，则；
③.若，，则；④.若，，则．

6．根据如图所示的伪代码，最后输出的的值为▲．

7．已知正方形的边长为1，若点是边上
的动点，则的最大值为▲.
8．已知＝，，若向区域上随机投掷一点，则点落入区域的概率为▲．
9．函数的
部分图像如图所示，则将的图象向右平移个
单位后，得到的图像解析式为____▲____．

10．已知，且，，则___▲___．
11．求“方程的解”有如下解题思路：设，则在上单调递减，且，所以原方程有唯一解．类比上述解题思路，方程的解集为▲．
12．已知实数，直线与抛物线和圆从左到右的交点依次为则的值为▲．
13．设函数，函数的零点个数为▲．
14．设实数均不小于1，且，则
的最小值是▲．（是指、、、四个数中最大的一个）

二．解答题：（本大题共6小题，计90分）
15．（本小题满分14分）
在中，角、、所对的边分别为、、，且
．
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）若，，，求的值．

16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD，底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE．
（I）若F为PE的中点，求证BF∥平面ACE；
（II）求三棱锥P﹣ACE的体积．

17．（本小题满分15分）
某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”：商场内所有商品按标价的八折出售，折
后价格每满500元再减100元．如某商品标价为1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8-200=1000（元）．设购买某商品得到的实际折扣率＝．设某商品标价为x元，购买该商品得到的实际折扣率为y．
（Ⅰ）写出当x∈时，y关于x的函数解析式，并求出购买标价为1000元商品得到的实际折扣率；
（Ⅱ）对于标价在［2500,3500］的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到的实际折扣率低于？

18．（本小题满分15分）
如图，已知椭圆的上、下顶点分别为，点在椭圆上，且异于点，直线与直线分别交于点，
（Ⅰ）设直线的斜率分别为、，求证：为定值；
（Ⅱ）求线段的长的最小值；
（Ⅲ）当点运动时，以为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．
P

19．（本小题满分16分）
已知，是实数，函数，，和分别是
，的导函数，若在区间上恒成立，则称和在区间上单调性一致．
（Ⅰ）设，若函数和在区间上单调性一致，求实数的取值范围；
（Ⅱ）设且，若函数和在以，为端点的开区间上单调性一致，求的最大值．

20．（本小题满分16分）
已知各项均为正数的两个无穷数列、满足．
（Ⅰ）当数列是常数列（各项都相等的数列），且时，求数列的通项公式；
（Ⅱ）设、都是公差不为0的等差数列，求证：数列有无穷多个，而数列惟一确定；
（Ⅲ）设，，求证：．

高三___________姓名_____________学号
………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………
高三数学开学检测答题纸
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）成绩

1．2．3．4．5．

6．7．8．9．10．

11．12．13．14．

二、解答题（本大题共6小题，计90分）
15．解：

16．解：

17．解：

18．解：

19．解：

（20题做在反面）
高三___________姓名_____________学号
………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………
数学附加题
1．（本小题满分10分）
求展开式中的常数项．

2．（本小题满分10分）
某舞蹈小组有2名男生和3名女生．现从中任选2人参加表演，记X为选取女生的人数，求X的分布列及数学期望．

3．（本小题满分10分）
如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB
于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））．
（Ⅰ）求证：PB⊥DE；
（Ⅱ）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长．