微分中值定理及其应用.doc

微分中值定理及其应用

讨论下列函数在指定区间内是否存在一点，使.
（1）；（2）.
证明：方程（这里为常数）在区间内不可能有两个不同的实根.
证明:（1）若函数在[]上可导，且，则

（2）若函数在[]上可导，且，则
；
（3）对任意实数都有
应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：
（1），其中；
（2），其中.
确定下列函数的单调区间：
（1）；（2）；
（3）（4）．
应用函数的单调性证明下列不等式：
（1）；
（2）
（3）．
设为上二阶可导函数，，并存在一点使得．证明至少存在一点，使得
8.设函数在内可导，且单调，证明在内连续．
9.证明：设为阶可导函数，若方程有个相异的实根，则方程至少有一个实根．
10．设，证明方程=0不存在正根．
11．证明：．
12．证明：若函数，在区间上可导，且，则在内有
13．设函数在上可导，证明：存在，使得
．
14．设函数在点处具有连续的二阶导数，证明：
．
15．求下列不定式极限:
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）；
（7）；（8）；
（9）；（10）；
（11）；（12）．
16．求下列不定式极限：
(1)；(2)；
(3)；(4)；
(5)；(6)；
(7)；(8)．
17.求下列函数带佩亚诺型余项的麦克劳林公式:
（1）
（2）
（3）．
18.求下列极限：
（1）
（2）
(3)
19.求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式：
（1）
（2）
20.求下列函数的极值：
（1）；（2）
（3）（4）．
21.设
，
（1）证明：是极小值点；
（2）说明的极小值点处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件．
22.求下列函数在给定区间上的最大最小值：
（1）
（2）
（3）.
23.把长为的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大？
24.有一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为时，要使容器的表面积为最小，问底的半径与容器高的比例应该怎样？
25.求下列函数的极值：
（1）
（2）；
（3）．
26.设在处都取得极值，试求与；并问这时在与是取得极大值还是极小值？
27.在抛物线哪一点的法线被抛物线所截之线段为最短．
28.确定下列函数的凸性区间与拐点:
(1)(2)
(3)(4)
(5)．
29.问和为何值时,点为曲线的拐点？
30.用凸函数概念证明如下不等式：
（1）对任意实数，有；
(2)对任何非负实数，有.
31.按函数作图步骤，作下列函数图象：
（1）（2）
（3）（4）
（5）（6）；
（7）（8）．
32.证明：若在有限开区间内可导，且则至少存在一点，使．
33.设函数在上连续，在内可导，且．证明存在使得

34.设，试问为何值时，方程存在正实根．
35.设在上可微，且证明：在上
36.设为上的二阶可导函数，若在上有界，则存在，使