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第八章条件异方差模型一、自回归条件异方差模型

自回归条件异方差(AutoregressiveConditionalHeteroscedasticityModel，ARCH)模型是特别用来建立条件方差模型并对其进行预测的。
ARCH模型是1982年由恩格尔(Engle,R.)提出，并由博勒斯莱文(Bollerslev,T.,1986)发展成为GARCH(GeneralizedARCH)——广义自回归条件异方差。这些模型被广泛的应用于经济学的各个领域。尤其在金融时间序列分析中。
按照通常的想法，自相关的问题是时间序列数据所特有，而异方差性是横截面数据的特点。但在时间序列数据中，会不会出现异方差呢？会是怎样出现的？恩格尔和克拉格（Kraft,D.,1983）在分析宏观数据时，发现这样一些现象：时间序列模型中的扰动方差稳定性比通常假设的要差。恩格尔的结论说明在分析通货膨胀模型时，大的及小的预测误差会大量出现，表明存在一种异方差，其中预测误差的方差取决于后续扰动项的大小。从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序列预测的研究工作者，曾发现他们对这些变量的预测能力随时期的不同而有相当大的变化。预测的误差在某一时期里相对地小，而在某一时期里则相对地大，然后，在另一时期又是较小的。这种变异很可能由于金融市场的波动性易受谣言、政局变动、政府货币与财政政策变化等等的影响。从而说明预测误差的方差中有某种相关性。
为了刻画这种相关性，恩格尔提出自回归条件异方差（ARCH）模型。ARCH的主要思想是时刻t的ut的方差（=t2）依赖于时刻(t1)的残差平方的大小，即依赖于ut2-1。（一）ARCH模型
为了说得更具体，让我们回到k-变量回归模型：
(9.1.1)
并假设在时刻(t1)所有信息已知的条件下，扰动项ut的分布是：
~(9.1.2)
也就是，ut遵循以0为均值，(0+1u2t-1)为方差的正态分布。
由于(9.1.2)中ut的方差依赖于前期的平方扰动项，我们称它为ARCH(1)过程：

然而，容易加以推广。例如，一个ARCH(p)过程可以写为：
（9.1.3）
如果扰动项方差中没有自相关，就会有
H0：
这时

从而得到误差方差的同方差性情形。
恩格尔曾表明，容易通过以下的回归去检验上述虚拟假设：
（9.1.4）
其中，ût表示从原始回归模型（9.1.1）估计得到的OLS残差。（二）GARCH(1,1)模型
常常有理由认为ut的方差依赖于很多时刻之前的变化量（特别是在金融领域，采用日数据或周数据的应用更是如此）。这里的问题在于，我们必须估计很多参数，而这一点很难精确的做到。但是如果我们能够意识到方程(6.1.3)不过是t2的分布滞后模型，我们就能够用一个或两个t2的滞后值代替许多ut2的滞后值，这就是广义自回归条件异方差模型(generalizedautoregressiveconditionalheterosce-dasticitymodel，简记为GARCH模型)。在GARCH模型中，要考虑两个不同的设定：一个是条件均值，另一个是条件方差。在标准化的GARCH(1,1)模型中：
(9.1.5)
(9.1.6)
其中：xt是1×(k+1)维外生变量向量，是(k+1)×1维系数向量。(9.1.5)中给出的均值方程是一个带有误差项的外生变量函数。由于t2是以前面信息为基础的一期向前预测方差，所以它被称作条件方差。(6.1.6)中给出的条件方差方程是下面三项的函数：
1．常数项（均值）：
2．用均值方程(6.1.5)的残差平方的滞后来度量从前期得到的波动性的信息：ut2-1（ARCH项）。
3．上一期的预测方差：t2-1（GARCH项）。
GARCH(1,1)模型中的(1,1)是指阶数为1的GARCH项（括号中的第一项）和阶数为1的ARCH项（括号中的第二项）。一个普通的ARCH模型是GARCH模型的一个特例，即在条件方差方程中不存在滞后预测方差t2的说明。在EViews中ARCH模型是在误差是条件正态分布的假定下，通过极大似然函数方法估计的。例如，对于GARCH(1,1)，t时期的对数似然函数为：
(9.1.7)
其中
(9.1.8)
这个说明通常可以在金融领域得到解释，因为代理商或贸易商可以通过建立长期均值的加权平均（常数），上期的预期方差（GARCH项）和在以前各期中观测到的关于变动性的信息（ARCH项）来预测本期的方差。如果上升或下降的资产收益出乎意料地大，那么贸易商将会增加对下期方差的预期。这个模型还包括了经常可以在财务收益数据中看到的变动组，在这些数据中，收益的巨大变化可能伴随着更进一步的巨大变化。2．设vt=ut2t2。用其替代方差方程（9.1.6）中的方差并整理，得到关于平方误差的模型：
（9.1