数学：1.3.2《函数的极值与导数》教案（新人教A版选修2-2）.doc

1．3．2函数的极值与导数(1)
一、教学目标：理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.
二、教学重点：求函数的极值.
教学难点：严格套用求极值的步骤.
三、教学过程：
（一）函数的极值与导数的关系
1、观察下图中的曲线
a点的函数值f(a)比它临近点的函数值都大．b点的函数值f(b)比它临近点的函数值都小．

2、观察函数f(x)＝2x3－6x2＋7的图象，
思考：函数y＝f(x)在点x＝0，x＝2处的函数值，与它们附近所有各点
处的函数值，比较有什么特点?
（1）函数在x＝0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，
我们说f(0)是函数的一个极大值；
（2）函数在x＝2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，
则f(2)是函数的一个极小值．
函数y＝2x3－6x2＋7的一个极大值:f(0)；一个极小值:f(2)．
函数y＝2x3－6x2＋7的一个极大值点:(0，f(0))；一个极小值点:(2，f(2))．
3、极值的概念：
一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)
我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；
如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)
我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．
极大值与极小值统称为极值．
4、观察下图中的曲线
考察上图中，曲线在极值点处附近切线的斜率情况．

上图中，曲线在极值点处切线的斜率为0，
极大值点左侧导数为正，右侧为负；极小值点左侧导数为负，右侧为正．
函数的极值点xi是区间[a,b]内部的点，区间的端点不能成为极值点．
函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值．
函数在[a,b]上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极小值点．

5、利用导数判别函数的极大（小）值：
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，判别f(x0)是极大（小）值的方法是：
⑴如果在x0附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，那么，f(x0)是极大值；
⑵如果在x0附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，那么，f(x0)是极小值；
思考：导数为0的点是否一定是极值点？
导数为0的点不一定是极值点．
如函数f(x)＝x3，x＝0点处的导数是0，但它不是极值点．

例1求函数
解：y¢＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．令y¢＝0，解得x1＝－2，x2＝2．
当x变化时，y¢，y的变化情况如下表．

因此，当x＝－2时，y极大值＝，当x＝2时，y极小值＝－．
求可导函数f(x)的极值的步骤：
⑴求导函数f¢(x)；
⑵求方程f¢(x)＝0的根；
⑶检查f¢(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
例2．求函数的极值
例3求函数y＝(x2－1)3＋1的极值．
解：定义域为R，y¢＝6x(x2－1)2.由y¢＝0可得x1＝－1，x2＝0，x3＝1
当x变化时，y¢，y的变化情况如下表：

当x＝0时，y有极小值，并且y极小值＝0．
例4．的极值
例5．的极值
思考：导数值为0的点一定为极值点吗？极值点一定导数值为0吗？
练习：求函数的极值

（三）课堂小结
1．考察函数的单调性的方法；2．导数与单调性的关系；3．用导数求单调区间的步骤.
（四）课后作业