误差的估算.doc

第三节误差的估算

由于物理量的数值的获得途径有直接测量和间接测量两种，无论直测量，还是间测量都有误差，误差的计算也分两种情况。广义地讲，两种情况的处理都属于误差计算。然而，间测量是由直测量决定的，以直测量为基础的，间测量的误差是由直测量通过给定的函数关系确定的。因此，狭义地讲，常把直测量的误差计算称为误差计算，而将间测量的误差计算叫误差传递。此外，由于严格意义上的误差是无法计算的，因而只能通过各种方法进行近似计算，故将误差计算称为误差的估算，而且可有多种方法进行估算。下面就介绍几种常用的误差估算方法。
一、直测量的误差估算
1．算术平均误差
在测量列中，各次测量的误差的绝对值的算术平均值叫算术平均误差。记为。
按定义
或
其中。
当n较大时，可用下式估算为

此法比前法得到的偏差要大些。
2.绝对误差
误差的绝对值叫绝对误差。狭义的绝对误差，如上面的，。而广义的绝对误差还有后面要讨论的，，，Q等。
3.相对误差
绝对误差与平均值的百分比叫相对误差，又叫百分误差。记为。其估算方法为

广义地讲，后面要讨论的、等都可叫相对误差。
4.标准误差(实验标准差)
按定义，标准误差是测量列中各次误差的方均根，记为。即

需要注意的是，上式是在测量次数很多时，测量列按正态分布时所得到的结果。
实际上，由于真值无法获得，而测量次数也只能是有限的。因此，标准误差只能通过偏差进行估算。常用的估算方法有：最大偏差法、极差法、Bessel法等，它们的估算结果基本一致。应用上，一般使用Bessel方法。
由统计理论可推导出，对有限次测量的Bessel标准偏差的计算公式(Bessel公式)为：

或
即最后是用代替。通常所说的标准误差，实际上就是。
5.算术平均值的标准差
算术平均值的标准差与实验标准差的关系为

类似的关系还有算术平均值的平均差与算术平均差的关系

而且。

二、间测量的误差计算（误差的传递）
上面所讨论的误差计算方法是对直测量而言的，在此基础上我们可以进一步讨论间测量的误差计算问题。我们知道，间测量是由直测量通过一定的函数关系决定相应的间测量的误差，它们之间的这种关系叫误差的传递，相应的计算公式叫误差传递公式。下面我们首先讨论误差传递公式的一般形式，然后再将其运用于一些具体情况。
1.误差传递公式的一般形式
设间接测量量与彼此独立的直接测量量、、(只取3个)间的函数关系为

测量结果用平均值和绝对误差表示为


和
其中,。
将在点按泰勒级数展开有

+…(高阶小量)
将此结果与前面假定关系式比较，忽略高阶小量，并考虑到误差传递中通过组合可能产生的最大值，取间测量的绝对误差为

相对误差为

根据标准差的定义，由上述展开式，在考虑到是彼此独立的情况，可得标准差的传递公式的绝对形式为

相对形式为

其中、分别为、在点处的值。
为了较好地使用标准误差的传递公式，需要说明的是：
(1)如果由按加(减)关系确定时，常用标准误差传递的绝对形式计算。
(2)如果由按乘(除)关系确定时，常用误差传递的相对形式计算。
(3)如果彼此不独立，还需计算相关系数(协方差)。例如：若，当（仅数值相等）时的误差传递，与取（与完全相关）后的误差传递是不一样的。
因为，当时有
，
再取时，化为
。
而当时
。
可见，前者在取时，仅为数值上相等，而它们仍是彼些独立的两个变量；而后者，则为完全相关，即与为同一个变量了，故结果也不一样了。
2．误差传递公式的具体形式
为了实际计算方便，我们将一些常见函数关系确定的误差传递公式列于下表。
函数关系一般误差传递公式标准差传递公式