二次根式的混合运算.docx

人民教育出版社八年级（下册）畅言教育

用心用情服务教育

《16.3二次根式的加减》
教材分析

本课在学习二次根式乘除运算及化简的基础上，从算术平方根的运算出发，研究二次根式的加减运算．二次根式的运算方法与数的运算方法本质上是一致的．实数的运算律对二次根式的运算仍然适用．结合二次根式的化简、乘除和加减运算，利用交换律、结合律、分配律及多项式乘法公式进行二次根式的混合运算．
教学目标

探索二次根式加减运算的方法和步骤；
会进行二次根式的加减运算．
通过探究二次根式的加减运算体会数学中的类比思想.
类比有理数混合运算和整式混合运算，探索二次根式的加、减、乘、除混合运算顺序的步骤和方法.
能熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.
通过学习二次根式的加、减、乘、除混合运算的学习，培养学生的运算能力、推理能力．

教学重难点

在化简二次根式的基础上，应用分配律进行二次根式的加减运算．
熟练并准确地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.
课前准备

课件

教学过程

第一课时
复习引入：
问题1：什么叫最简二次根式？你能将，，化为最简二次根式吗？
问题2：现有一块长7.5dm,宽5dm的木板,能否采用如图的方式,在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板?提问:①大、小正方形木板的边长分别为dm和dm,木板是否够宽?②木板是否够长呢?③怎样计算的结果呢?

问题3：计算下列各式：（1）a+2a；（2）3x-2x；
解：（1）a+2a=(1+2)a=3a；
（2）3x-2x=(3-2)x=x；
【设计意图】回顾整式的加减及合并同类项法则，为后续学习二次根式的合并做准备.

二、新课讲解：
1.探究二次根式的加法.
问题4：请类比整式的加减，计算下列各式：
；（2）.
解：（1）；
.
【点拨】最简二次根式中，被开方数相同的二次根式的加减，直接把系数相加减，根号和根号内的数不变.

问题5：能合并吗？为什么？呢？
解：不能合并，因为它们被开方数不相同；
.
【小结】（1）二次根式能够进行合并的条件：①首先将二次根式化成最简二次根式；②观察被开方数是否相同.
（2）二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并.

练习1：下列各组二次根式中，能够合并的一组二次根式是（）
A．与B．与C．与D．与
练习:2：（教材P13练习）下列计算是否正确？为什么？
；
；
.
解：（1）∵和的被开方数不相同，
∴不能合并,故错误.
∵，，
故，故错误；
∵，
故正确.
[点拨]化为最简二次根式后，只有被开方数相同的二次根式才能合并.

2.二次根式加法的运用.
问题7：（教材例题）计算：（1）；（2）；
（3）；（4）.
解：（1）；
；
；
.
练习3：（教材P13练习2）计算：（1）；（2）；
（3）；（4）；（5）.
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；

问题6：前面问题2中，怎样计算的结果呢?木板长7.5dm,宽5dm，是否够长？

解：
=···化为最简二次根式
=···乘法分配率
=≈7.07＜7.5
故木板够长.

练习4：（教材P13练习3）如果两个圆的圆心相同，他们的面积分别是12.56和25.12，求圆环的宽度d（π取3.14，结果保留小数点后两位）.

解：∵S圆=πr2，
∴d=r大圆-r小圆=≈0.83
答：圆环的宽度d为0.83.

课堂小结：
知识梳理：（1）二次根式合并的前提：化成最简二次根式之后，被开方数相同.
二次根式加减的实质：合并被开方数相同的最简二次根式.
2.二次根式加减的实质是二次根式的合并，计算过程中容易出现以下错误：
①化成最简二次根式后，如果被开方数不相同，则不能进行合并；
②合并被开方数相同的最简二次根式时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变.
二次根式加减运算的步骤：①去括号；②化简；③判断并合并．
4.二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别
运算二次根式的乘除法二次根式的加减法系数系数相乘除系数相加减被开方数被开方数相乘除被开方数不变化简结果化成最简二次根式先化成最简二次根式,再合并被开方数相同的二次根式(同类二次根式)
随堂测试：
1.下列各式计算正确的是()
A.B.C.D.
解析:A.不是同类二次根式，不能合并，故错误；
B.合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉，故错误；
C.应为，故错误；
D.，故正确.
故选D.
2.以下二次根式:①,②,③,④中,化简后能合并成一项的是()
A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④
解析：①；②；③；④.
计算：的值是（）
A.2B.3C.D.2
解析：..
一个等腰三角形的两边长分别为,则三角形的周长为.
解析：分两种