中考复习第6讲 分式方程.doc

第6讲分式方程
【考纲要求】
1．理解分式方程的概念，会解可化为一元一次(二次)方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)，知道解分式方程的基本思想是把分式方程化为整式方程．
2．了解解分式方程产生增根的原因，能解决有关字母系数的问题．
3．会列分式方程解决实际问题.
【命题趋势】
中考中多以选择题、填空题、解答题的形式考查以下几点：(1)找分式方程的最简公分母，将分式方程化成整式方程；(2)已知方程有增根，确定有关字母的值；(3)解分式方程．列分式方程解决实际问题是中考的重点.
【考点探究】
考点一、分式方程的解法
【例1】解方程：eq\f(x＋1,2x)＝eq\f(x＋1,3).
分析：把分式方程转化为整式方程，通过解整式方程求得分式方程的解．
解：原方程两边同乘6x，得3(x＋1)＝2x·(x＋1)，整理得2x2－x－3＝0，解得x＝－1或x＝eq\f(3,2).经验证知它们都是原方程的解，故原方程的解为x＝－1或x＝eq\f(3,2).
方法总结解分式方程时应注意以下两点：(1)去分母时，要将最简公分母乘以每一个式子，不要“漏乘”；(2)解分式方程时必须检验，检验时只要代入最简公分母看其是否为0即可．若能使最简公分母为0，则该解是原方程的增根．
触类旁通1解方程：eq\f(x,x＋2)＋eq\f(x＋2,x－2)＝eq\f(8,x2－4).
【例2】解方程：eq\f(x－1,x)＋eq\f(x,x－1)＝eq\f(5,2).
解：设eq\f(x－1,x)＝y，则原方程化为y＋eq\f(1,y)＝eq\f(5,2).
解得y1＝2，y2＝eq\f(1,2).当y＝2时，eq\f(x－1,x)＝2，解得x＝－1；
当y＝eq\f(1,2)时，eq\f(x－1,x)＝eq\f(1,2)，解得x＝2.
经检验，x1＝－1，x2＝2均符合题意，
所以原方程的解为x1＝－1，x2＝2.
方法总结解分式方程时，如按常规用约去分母的方法解，所得到的整式方程比较复杂，不易继续求解，我们可采用换元法求解．一般分式方程有以下两种情况时，可考虑换元法：第一种情况是“倒数型”，如eq\f(2x,x－1)＋eq\f(x－1,x)＝eq\f(5,2)，由于eq\f(x,x－1)与eq\f(x－1,x)互为倒数，当设eq\f(x,x－1)＝y时，原方程可化为2y＋eq\f(1,y)＝eq\f(5,2)；第二种情况是“平方型”，如eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))2－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))－3＝0，此时设x－eq\f(1,x)＝y，则原方程可化为y2－2y－3＝0.
触类旁通2方程eq\f(66,x＋3)－eq\f(60,x)＝0的根是________．
考点二、分式方程的增根
【例3】分式方程eq\f(x,x－1)－1＝eq\f(m,x－1x＋2)有增根，则m的值为()
A．0或3B．1
C．1或－2D．3
解析：由(x－1)(x＋2)＝0得增根可能是x＝1或x＝－2，把方程两边都乘(x－1)(x＋2)得x(x＋2)－(x－1)·(x＋2)＝m，当x＝1时，得m＝3，当x＝－2时，得m＝0，此时方程变为eq\f(x,x－1)－1＝0，即x＝x－1，此时方程无解，故m＝0舍去，∴当m＝3时，原方程有增根x＝1.
答案：D
方法总结利用增根求分式方程中字母的值：(1)确定增根；(2)将原分式方程化成整式方程；(3)增根代入变形后的整式方程，求出字母的值．
触类旁通3若解分式方程eq\f(mx＋1,x－1)＝－1时产生增根，则m的值是()
A．0B．1C．－1D．±1
考点三、分式方程的应用
【例4】某品牌瓶装饮料每箱价格26元．某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，若整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元．问该品牌饮料一箱有多少瓶？
解：设该品牌饮料一箱有x瓶，依题意，得eq\f(26,x)－eq\f(26,x＋3)＝0.6，
化简，得x2＋3x－130＝0，解得x1＝－13(不合题意，舍去)，x2＝10.经检验：x＝10符合题意．
答：该品牌饮料一箱有10瓶．
方法总结列分式方程解决实际问题关键是找到“等量关系”，将实际问题抽象为方程问题．同时，既要注意求得的根是否是原分式方程的根，又要根据具体问题的实际意义，检验是否合理．
触类旁通4某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独