梯形中常见辅助线的作法.doc

一、平移对角线：平移一条对角线，使之经过梯形的另一个顶点。

例1如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AC⊥BD,梯形的高CF为10，求梯形ABCD的面积。

分析：由于等腰梯形ABCD的对角线AC⊥BD且AC=BD，所以我们可以平移一对角线构造一等腰直角三角形，通过验证发现梯形的面积与这个三角形的面积相等，因此只需求出三角形的面积即可。
解：过点C作CE∥DB交AB的延长线于点E.
∵DC∥AE；∴四边形CDBE为平行边形；∴DB=CE,DC=BE
∵梯形ABCD为等腰梯形；∴AD=BC,AC=BD；∴AC=CE
∴△ADC≌△CBE即S△ADC=S△CBE；∴S梯形ABCD=S△ACE
∵AC⊥BD，CE∥DB；∴AC⊥CE；∴△ACE为等腰直角三角形
∵CF为高,∴CF也为等腰直角三角形ACE斜边上的中线
∵CF=10，∴AE=20
∴S梯形ABCD=S△ACE=AE×CF=×20×10=100

二、平移一腰或两腰：平移一腰，使之经过梯形的另一个顶点或另条腰的中点；或者同时移动两腰使它们交于一点。

例2如图，等腰梯形ABCD两底之差等于一腰的长，那么这个梯形较小的一个内角是()

A.9O°B.6O°C.45°D.30°
解析：由条件“两底之差等于一腰的长”，可平移一腰。如图所示平移DC到AE，AE交BC于E。可知BE=BC-AD=AB．又AB=DC=AE．故AB=BE=AE,△ABE是等边三角形。所以∠B=60°.故选B。

例3如图，在梯形ABCD中，AD∥BC．AD<BC，E、F分别为AD、BC的中点，且EF⊥BC。求证：∠B=∠C。

解析：要证∠B=∠C，可把它们移到同一个三角形中，利用等腰三角形的有关性质加以证明。
过点E作EH∥AB，EG∥DC，分别交BC于H、G。
∵AD∥BC，∴四边形ABHE和四边形EGCD都是平行四边形。
∴AE=BH，ED=GC。又E、F分别为AD、BC的中点，所以AE=ED，BF=FC
∴BH=GC,BF-BH=FC-GC，从而FH=FG.又EF⊥BC,所以EH=EG，故∠EHF=∠EGF,得∠B=∠C。

三、延长两腰：将梯形两腰延长相交构造三角形。
例4在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD+BC=30，BD平分∠ABC，求梯形的周长。
解析：延长两腰相交于点E，如图，因为∠ABC=∠BCD=60°，故∠E=60°，△BCE为等边三角形。又BD平分∠ABC，所以BD垂直平分CE，所以CD=BC。又AD∥BC，故△ADE为等边三角形。AD=ED=CD.由AD+BC=30,知CD+2CD=30,CD=10。

∴梯形的周长为30+AB+CD=30+2CD=50。

四、作梯形的高：过梯上底的两个端点分别作梯形的高。
例5已知等腰梯形的一个内角为60°，它的上底是3cm，腰长是4cm，则下底是。
解析：如图，梯形ABCD中，∠B=∠C=60°，AD=3cm，AB=DC=4cm，过点A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F则有∠BAE=∠CDF=30°，BE=FC=AB=2cm。

∴BC=BE+EF+FC=BE+AD+FC=7(cm).