一 一点的应力状态与应力张量.doc

一一点的应力状态与应力张量
二主应力与应力不变量

对于一般空间问题，一点的应力状态可以由九个应力分量表示，如P点处应力状态在直角坐标系可表示为

如图1-1所示。在固定受力情况下，应力分量大小与坐标轴方向有关，但由弹性力学可知，新旧坐标的应力分量具有一定变换关系。通常，我们称这种具有特定变换关系的一些量为张量。式（1-1）就是应力张量，它是二阶张量。因为它具有=，=，=。
已知物体内某点P的九个应力分量，则可求过该点的任意倾斜面上的应力。在P点处取出一无限小四面体oabc(图1-2)

它的三个面分别与x,y,z三个轴相垂直。另一方面即任意斜面，它的法线N，其方向余弦为l,m,n。分别以、、、代表abc、obc、oac、oab三角形面积。

（1.2）
在三个垂直于坐标的平面上有应力分量，在倾斜面abc上有合应力,它可分解为正应力及切向剪应力，即
沿坐标轴方向分量为,，，由平衡条件可得

求出，，在法线上的投影之和，即得正应力
1-5
而剪应力则由式1-5得=-
在空间应力状态下一点的应力张量有三个主方向，三个主应力。在垂直主方向的面上，，即为主应力，等于合应力，而主应力在坐标轴上的分量为
1-7
将式1-7代入1-4整理后得
（1-8）
此外，法线N的三个方向余弦应满足（1-9）
由上面四个方程可求得及方向余弦l,m,n。如果将l,m,n看作未知量，则由式1-9可见，l,m.n不能同时为零。因此线性方程组式1-8非零解的充要条件为系数行列式等于零。

展开行列式得到1-11
式中1-12
方程1-11有三个实根，即三个主应力。按三个主应力数值，分别由式1-8求出三个主方向。
当坐标方向改变时，应力分量均将改变，但主应力的数值是不变的，因此该式的关系也不变。由于系数与坐标无关，故称作应力张量不变量，通常分别叫作应力张量第一不变量，第二不变量，第三不变量。

设三个正应力的平均值为平均应力，用表示

于是

由此，应力张量可分解为两个分量

等式右端第一个张量称为应力球张量，第二个张量称为应力偏张量。

式中定义为

令，，，，，……，则应力偏量即为

三应力空间
如果我们将、、取为三个相互垂直的直角坐标轴而构成一空间直角坐标系，则该空间中任一点的三个坐标值就相应于物体某点应力状态的三个主应力的数值，也就是说。该空间中的一点对应于物体某点的应力状态。我们就把这个空间称为应力空间。如图2-6所示，P点的坐标为（），这个应力状态可写为三个矢量,,的矢量和。

四应力圆和Lode参数
在传统塑性理论中，认为应力张量不影响屈服，所以对应力偏量特别感兴趣，而洛德（Lode）参数或洛德角是应力偏量的特征量。此外，采用洛德参数或洛德角研究塑性问题十分方便，因而在岩土塑性理论中应用极为广泛。
设横坐标为正应力，纵坐标为剪应力，设已知应力，，，令
，，以,,为直径画三个圆，如图2-8（a）。
其半径为，，
、、称为主剪应力，半径最大者为最大剪应力，如果把图2-8（a）中坐标原点移到新的位置，使
这时,,

由此所得移轴后应力圆即是描述应力偏量的应力圆图2-8（b）
原点任意平移一个距离，就相当于在原有应力状态下叠加一个静水压力。在传统塑性力学中，这个叠加并不影响屈服函数和塑性变形。因此，对塑性变形有决定性意义的是应力圆本身。若以M表示的中点，则

若考虑到中间应力对屈服函数的影响，可由与之比确定的相对位置，其比值用洛德参数表示。
若主应力次序为，则
3-1a
或3-1b
式中。由变到，因此和的变化范围为
，
由式3-1可见，为主应力值的函数，说明是应力差的比例关系，而与应力大小无关。不管坐标纵轴原点位置移动多少，其不变，可见是描述应力偏量的特征值，它与应力偏量不变量、有关，而与应力球张量无关。
由上可见，洛德参数或洛德角都不能表示一点的应力状态的特征值，因为它不表示应力球张量。然而它却能反映受力状态的形式，即主应力分量之间的比例关系。因而不同的洛德参数与洛德角可以反映材料的不同受力状态。
在弹性力学和传统塑性力学中，符号一般都是规定以拉为正，但在岩土力学都一般规定以压为正。

五应力路径
1应力路径的基本概念
岩土的性质与本构关系，与应力或应变状态的变化过程有关，因此需要描述一个单元在它加载过程中的应力或应变的变化过程。通常称描述一单元应力状态变化的路线为应力路径，而称描述应变状态变化的路线为应变路径，目前过程上应用较多的是应力路径。
对岩土来说，一点的应力状态完全可由总主应力及其方向和孔隙压力所确定。有效主应力可用计算算出。
我们令三个总主应力或有效主应力为坐标轴，而建立应力空间或有效应力空间。如图2-12所示，图上、及为三个有效主应力，将一单元的瞬时有效应力状态所有的点联结起来的线，并标上箭头指明发展的趋向，就可