弹性棒的弯曲变形.doc

弹性棒的弯曲变形研究
案例背景

对于某一均匀圆柱形细长弹性棒，在棒的两端施加方向相反大小相等（等于
F）的轴向压力.实验表明，当且仅当F大于某力F1时，棒才会发生弯曲.这个力F1称为临界力.而当F=F2≈2F1时，棒的平衡状态如示意图1那样：棒的两
个端点重合（假设棒仍处在弹性限度之内）.试建立数学模型来验证实验的结果.并且完成以下任务：
一、计算力学特征：
1.临界力F1的表达式；

2．F2/F1的精确的理论比值.

二、计算F=F2时棒的平衡状态曲线的几何特征：
1．宽度与棒长之比;
2．高度与棒长之比;
3．端点重合处的夹角(单位：度).

示意图1

一．问题的分析

仔细思考问题的条件和要求，思考如下：
工作前奏——概念理解
F2/F1的精确的理论比值，通过对材料力学和数学的理解，并查阅了相关资料，认为它是指相对于给定的,这里的精确不是指误差为0，而是指在允许的范围内较2更为精确的比值，比值越精确，模型越是合理。
中心任务——建立在作用下弹性棒的的曲线方程并求解
问题转化。问题要求确定一个精确比值，以及计算出F=F2时棒的平衡状态曲线的几何特征；即使要求建立一个合理的曲线方程模型来表示弹性棒的变形，并通过解此方程球的相应的几何特征。
具体方法。具体方法是否得当，不仅仅是该模型建立本身的合理性、逻辑严密性，而且要求该模型具有可解性，即该模型能够通过现有的数学手段求解。
从F1的求解入手，层层递进，使模型逐步优化。
按照纯弯曲理论，对细长杆小变形压杆失稳用梁挠曲线近似微分方程式按照材料力学公式求解——即欧拉公式。
在1）的基础上，对大变形理想弹性棒进行分析，据结构力学对称性分析，将F2作用下的弹性棒简化为一端固定，一端自由的弹性棒，类比欧拉公式，得出其挠曲线微分方程。
对该方程进行进一步分析和简化，发现其是不可积方程，故对该方程利用进行优化，通过在固定端的近似求解，将弹性棒的变形曲线分解成两段。通过边界条件，近似解出该方程。
目标工作
得到该方程后，代入相应条件，得出曲线的几何特征。
模型反思
在支座附近曲线求解上采取了近似处理，将整个棒上弯矩取为常数自由端弯矩，事实上，并非常数。截断点离固端越近，求解越是精确。

二．模型假设

棒是均匀的，圆柱形的，细长弹性的。
棒的截面尺寸相对于其长度为无穷小。
在模型Ⅰ、Ⅱ中，弹性棒发生的是纯弯曲变形，轴力和剪力对弹性棒的变形不起作用。
在模型Ⅰ中，在作用下，棒处于临界状态，可认为杆发生了极其微小的侧向位移。
在模型Ⅱ中,不同杆长所形成的曲线是相似的,即不同杆长所形成的曲线的相应几何特征之比应等于杆长之比.
三．符号约定

：弹性棒的截面抗弯刚度（其中为弹性模量，I为截面惯性矩）。
M：截面弯矩,规定以逆时针为正。
：曲率半径。
F：压力。
:曲线上任一点的斜率。

四．模型的设计和求解

根据问题分析，问题先转化为平衡状态曲线方程的确立，再以此确定相应的F值和几何特征。

模型Ⅰ
模型的建立和求解
根据问题分析，可将该弹性细长棒等效为两端用球形铰支座支承的细长杆，在它的两端作用轴向压力，当F的的大小到达时杆因水平方向的微小干扰而产生微小弯曲，并在此微弯状态下保持平衡。因属于小变形，可以梁挠曲线的近似微分方程式描述，即

图一临界状态条件下

(1-1)
由图：在任意截面处杆的玩具M(x)有
代入(1-1)式得：
，令=,则
(1-2)
其通解为，代入边界条件
x=0,y=0
x=l,y=0
解得B=0,kl=n（n为整数），代入=,得
（1-3）
取n=1，即得临界荷载
（1-4）
即为欧拉公式，此公式由欧拉导出。

2，模型Ⅱ
模型Ⅰ只能解决小变形问题，在作用下棒的弯曲属于大弯曲问题，须从梁在纯弯曲时绕曲线的曲率公式从头推起。
模型的建立
根据结构力学对称性分析可将细长弹性棒简化为如图所示，取上半段进行研究。
梁在纯弯曲时绕曲线的曲率公式为（1-5）

图二状态下
在这里，M,ρ已不是常量，而是x的函数，可将上式改写为（1-6）
而（1-7）
代入⑥得
考虑到M（x）0,<0（从曲线大致形状得出）取
（1-8）
将M(x)=代入上式，并令k=,,并积分得
（C为常数）
代入边界条件,得到C=,代入上式得
（1-9）
将⑨进行整理得
从而得曲线表达式：（1-10）
利用棒长为,得（1-11）

上述方程组仅含两个未知数，理论上可解。

解模
上述积分方程均没有原函数，故不能用常规方法求解，考虑到条件F2≈2F1，则可以通过计算机搜索法求解.具体如下:由F2≈2F1,k=,
再通过曲线大致图像得=0，及在恒成立得出，有假设5取l=1，理论上则可通过matlab编程得到k,D的解。具体算法如下：
开始
将k，D