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易拉罐的形状和尺寸的最优设计

摘要

本文研究的是易拉罐外形和尺寸的最优化问题，通过建立数学模型找到在易拉罐体积一定的条件下，使得易拉罐表面积最小，材料最省的外形及尺寸。
首先动手测量易拉罐的各项尺寸，然后通过一个由简单到复杂的分析过程，逐步建立模型与实测数据比较确定易拉罐外形和尺寸的设计方案，并且通过进一步优化得到最优的设计方案。
第一题需要我们亲自动手用各种工具测量易拉罐上底面及下底面直径、易拉罐各部分高度以及厚度。
第二题假设易拉罐为一个正圆柱体，问题简化为已知圆柱体的体积求其高度和底面半径为多少时表面积最小。进一步分析问题建立目标函数，用微分地方法求解。模型一与实际情况相差过大，所以考虑上下底面的厚度来进一步优化模型，就是模型二。
第三题继续优化，贴近实际，假设易拉罐的上部是一个正圆台，这样问题就变为上部圆台和下部圆柱体体积和一定的条件下，求其表面积和最小，与第二步相同建立目标函数，并考虑到各种约束条件，例如实用，美观，人体工程学等（其实最优化是没有尽头的，可口可乐公司在08年就已经将可乐罐改为330ml）。
第四题从回收和美观的角度将罐子设计成花瓶型，易于抓握，便于折叠回收。

关键字
355毫升易拉罐系统简化优化设计导数求极值

一．问题重述

我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等)的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务：

取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。

设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。

设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。

二．问题的分析和假设

此问题是一个对几何体进行建模的问题。模型建立的越准确，则计算值与真实值的误差越小。积分是最精确的方法，但其缺点是繁琐难解。于是我们可以对几何体进行近似，试图在求解容易的基础上，尽可能地减小误差。

问题二中设罐体为标准圆柱体，模型一中先设圆柱各处厚度相同，则用料最省为表面积最小。模型二则对顶盖和底部的厚度进行限制。对问题三分析易知只考虑用料最少结果必为圆柱体，所以我们考虑实际条件与工业生产条件来做限制条件（可口可乐罐体的多次变化，特别是前年由355ml变成330ml，表明了罐体并没有达到最优值）。

问题中为了建立模型和计算的简便略去所有的边角并且忽略厚度对高的影响。为了更能体现本质，减少干扰，不考虑内外径的区别。

三．测量数据

物理量测量值圆柱半径R=32.945mm圆柱高度H=123.11mm上部圆台体上半径r=29.085mm上部圆台体高h=8.40mm侧壁厚度d=0.14mm上底厚度=0.28mm下底厚度=0.29mm球缺深度l=9.61mm
四．符号说明

符号：说明
V:罐体的体积
H:柱体的高度
R：柱截面的半径
V：所用材料的体积
d：侧壁厚度
h:圆台的高度
r:圆台上截面的半径

五．模型建立
问题二.
正圆柱体的最优设计
模型一.
设易拉罐的高为H，底面圆半径为R，由圆柱体体积v=πR2H，得H=v∕πR2则表面积s=2πR2+2πRH，将H=v∕πR2代入得s=2πR2+2v∕R，当R取何值时候函数s取得最小值？
S=2πR2+2vR=2πR2+vR+v∕R≥3
当且仅当2πR2=v∕R，即R=时，
S（min）=3，此时H=2R。
但是我们的易拉罐很少看见有直径与高相同的，所以考虑下一个模型。

模型二.
考虑上下底与侧壁材料的厚度不同
设易拉罐上底厚度为,下底厚度为，
v=πR2H，则H=v/πR2
所需材料总体积v=2πRHd+πR2=2πR·vπR2d+πR2=2vdR+πR2
对V求导，得：V=2πdR（-2vdR令V=0，则2Vd=2πd（）R，V=π（R。代入v=πR2H，得HR=
经测量的（d=0.14mm，=0.28mm，=0.29mm，实际测量与【