幂数列求和公式的推导及证明.doc

幂数列求和公式的推导及证明
我们把诸如“，，……，（为自然数）”之类的数列叫做幂数列。如，，……，；，，……，；，，……，；，，……，等。
下面几个公式经数学归纳法证明是正确的：
……，
……，
……，
……，
……，
……，……，
……，
……，
……。
我们把这几个公式叫做幂数列前n项和公式，其中前三个已出现在高中课本上。出人意料的是，这些公式并不随着幂次数的增高而变得像我们想象的那样复杂，等号右端次数虽高，但项数并不是特别的多，因为某些项被消掉了。并且各项的系数的绝对值也都还没超过1。这些公式是怎样推导出来的呢？
下面以4次幂数列为例介绍一个推导方法。
我们先看一个展开式:
由这个展开式可得。
取，则，取，则，……
这些等式两端分别相加得
…………………………
为了计算中括号里边的值，我们先举一个例子：计算
式子……的值。
按常规算法，这300次乘法计算和99次加法计算即使使用计算器恐怕小时之内很难完成任务。若各项都乘，得……，这样前两项相加得,再加第三项得，依此类推，加到最后一项，得数应是，故……，由此猜想……，
所以…………………………，
其中方括号里边的值为,再把1，2，3次幂数列求和公式分别代入上式并化简，得
……。
这个公式的正确性可用数学归纳法来证明，证明过程如
下:
取，则，公式显然成立；假设时公式也成立，即……，则时有……
，而，所以。这就证明了当时公式也成立。通过以上证明可知，取任何自然数公式……都成立。
用类似的方法可以分别推导出5至10次幂数列求和公式，并可仿照上面的方法证明。至于11次及11次以上的幂数列求和公式,相信你在读完本文后也一定能推导和证明的。