线段树入门.doc

线段树入门
在自然数，且所有的数不大于30000的范围内讨论一个问题：现在已知n条线段，把端点依次输入告诉你，然后有m个询问，每个询问输入一个点，要求这个点在多少条线段上出现过；
最基本的解法当然就是读一个点，就把所有线段比一下，看看在不在线段中；
每次询问都要把n条线段查一次，那么m次询问，就要运算m*n次，复杂度就是O(m*n)
这道题m和n都是30000，那么计算量达到了10^9；而计算机1秒的计算量大约是10^8的数量级，所以这种方法无论怎么优化都是超时
因为n条线段是固定的，所以某种程度上说每次都把n条线段查一遍有大量的重复和浪费；
线段树就是可以解决这类问题的数据结构
举例说明：已知线段[2,5][4,6][0,7]；求点2,4,7分别出现了多少次
在[0,7]区间上建立一棵满二叉树：（为了和已知线段区别，用【】表示线段树中的线段）
【0,7】
/\
【0,3】【4,7】
/\/\
【0,1】【2,3】【4,5】【6,7】
/\/\/\/\
【0,0】【1,1】【2,2】【3,3】【4,4】【5,5】【6,6】【7,7】
每个节点用结构体：
structline
{
intleft,right; //左端点、右端点
intn; //记录这条线段出现了多少次，默认为0
}a[16];
和堆类似，满二叉树的性质决定a[i]的左儿子是a[2*i]、右儿子是a[2*i+1];
然后对于已知的线段依次进行插入操作：
从树根开始调用递归函数insert
//要插入的线段的左端点和右端点、以及当前线段树中的某条线段
voidinsert(ints,intt,intstep)
{
if(s==a[step].left&&t==a[step].right)
{
a[step].n++; //插入的线段匹配则此条线段的记录+1
return; //插入结束返回
}
if(a[step].left==a[step].right) //当前线段树的线段没有儿子，插入结束返回
return;
intmid=(a[step].left+a[step].right)/2;
if(mid>=t) //如果中点在t的右边，则应该插入到左儿子
insert(s,t,step*2);
elseif(mid<s) //如果中点在s的左边，则应该插入到右儿子
insert(s,t,step*2+1);
else //否则，中点一定在s和t之间，把待插线段分成两半分别插到左右儿子里面
{
insert(s,mid,step*2);
insert(mid+1,t,step*2+1);
}
}
三条已知线段插入过程：
[2,5]
--[2,5]与【0,7】比较，分成两部分：[2,3]插到左儿子【0,3】，[4,5]插到右儿子【4,7】
--[2,3]与【0,3】比较，插到右儿子【2,3】；[4,5]和【4,7】比较，插到左儿子【4,5】
--[2,3]与【2,3】匹配，【2,3】记录+1；[4,5]与【4,5】匹配，【4,5】记录+1
[4,6]
--[4,6]与【0,7】比较，插到右儿子【4,7】
--[4,6]与【4,7】比较，分成两部分，[4,5]插到左儿子【4,5】；[6,6]插到右儿子【6,7】
--[4,5]与【4,5】匹配，【4,5】记录+1；[6,6]与【6,7】比较，插到左儿子【6,6】
--[6,6]与【6,6】匹配，【6,6】记录+1
[0,7]
--[0,7]与【0,7】匹配，【0,7】记录+1

插入过程结束，线段树上的记录如下（红色数字为每条线段的记录n）：

【0,7】
1
/\
【0,3】【4,7】
00
/\/\
【0,1】【2,3】【4,5】【6,7】
0120
/\/\/\/\
【0,0】【1,1】【2,2】【3,3】【4,4】【5,5】【6,6】【7,7】
00000010
询问操作和插入操作类似，也是递归过程，略
2——依次把【0,7】【0,3】【2,3】【2,2】的记录n加起来，结果为2
4——依次把【0,7】【4,7】【4,5】【4,4】的记录n加起来，结果为3
7——依次把【0,7】【4,7】【6,7】【7,7】的记录n加起来，结果为1
不管是插入操作还是查询操作，每次操作的执行次数仅为树的深度——logN
建树有n次插入操作，n*logN，一次查询要logN，m次就是m*logN；总共复杂度O(n+m)*logN，这道题N不超过30000，logN约等于14，所以计算量在10^5～10^6之间，比普通方法快了1000倍；
这道题是线段树最基本的操作，只用到了插入和查找；删除操作和插入类似，扩展功能的还有测度、连续段数等等，在N数据范围很大的时候，依然可以用离散化的方法建树。
湖大的那道题目