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轴心压杆大挠度弹性屈曲分析
摘要以大挠度理论为基础，对压杆的稳定性进行了分析，推导得出了压杆屈曲后的挠度与荷载关系的数表达式.通过ANSYS算例，说明利用该公式不仅能描述压杆屈曲后挠度曲线的形状，而且还能给出压杆屈曲后挠度值的大小，从而为精确分析压杆的极限承载力，提供了一种理论分析的方法。
关键词：屈曲理论；大挠度；ANSYS分析。
1引言
小挠度理论只能说明直线状态是不稳定的，却不能给出荷载与挠度的具体关系式。随着压杆不断向轻型组合结构的方向发展，在其稳定性的分析中，考虑剪切变形的影响已十分必要.吕烈武曾指出，在实际工程中，有许多根据屈曲理论分析得到的屈曲荷载，并不与压杆的极限承载力相关，且认为产生这种不一致的原因，是由压杆屈曲后的平衡状态所决定的.所以，有必要应用大挠度理论对压杆屈曲后的变形特性进行研究.作者在大挠度理论的基础上，考虑压杆剪切变形的影响，推导得出了压杆的挠度与荷载关系的函数表达式，可以给出组合压杆屈曲后的荷载与挠度的一一对应关系，并且可以确定屈曲后挠度值的大小，从而在理论上为分析压杆的极限承载力提供了参考.
2大挠度理论
按照小变形理论对两端铰接的轴心受压构件剪力线性微分方程求解，得到构件的屈曲荷载和变形曲线。剪力平衡方程时用代替构件变形时的曲率。为了阐明构件屈曲后的性能，必须用曲率的精确值，这样一来，就得到了大挠度方程
（1）
（1）式可简化，因为曲率是曲线的倾角对弧长的变化率，即，这样可以简化为
（2）
在（2）式中含有三个变量，为了便于计算，对式（2）再微分一次，而且利用，以减少为两个变量。令，式（2）变为
（3）
上式利用椭圆积分求解，先得到构件的长度与构件屈曲后两端的倾角和的积分式
（4）
这是一个有现成的积分表可查的椭圆积分式。引入符号和。其中
（5）
（6）
（7）
因为，,这样上式可写成
（8）
这是大挠度理论关于轴心受压构件屈曲后荷载和变形的端角之间的关系式。
对于构件屈曲后的变形，还需要知道构件中点的挠度和端角之间的关系式。由（9）
可得（10）
给定后由式（8）和（10）即可得到和。
3ANSYS实例验证轴心受压构件大挠度分析理论
理论解计算步骤：（1）通过给定的端角先求得参数
（2）求得系数
（3）通过求得荷载
（4）通过求得中点水平位移
计算结果如下表
表1基于大挠度的理论解
端角θ（度）p=sin(θ/2)KP/Pe理论解v/l理论解001.570810.0226100.08721.57381.00380.0993200.17361.58281.01530.1292300.25881.59811.03510.1708400.3421.621.06360.2152500.42261.6491.10210.2586600.51.68581.15180.2976700.57361.73121.21470.3315800.64281.78681.29390.3595900.70711.85411.39320.38091000.7661.93561.51840.39511100.81922.03471.67790.40171200.8662.15651.88480.40061300.90632.30882.16040.39151400.93972.50462.54240.3741500.96592.76813.10540.3481600.98483.15344.03010.31131700.99623.83175.95040.2591ANSYS分析采用beam3单元，单元长度为压杆长度的5%。用ANSYS作几何非线性分析时，受限要打开大位移选项，并根据问题类型设置求解控制选项；其次是引入缺陷“激起”非线性分析，对大多数实际问题分析中，需要引入缺陷以进行非线性分析，但对如拱一类的结构则不必引入缺陷而直接进行非线性分析。就本例，必须给出一定的初始缺陷（初弯曲）才能进行非线性分析，初始缺陷的大小对屈曲荷载附近影响较大，而后影响逐渐减少，本例采用千分之一的压杆长度为初始缺陷。
在求解策略上，本例没有使用弧长法，当荷载位移曲线变化比较剧烈时，调正荷载子步大小即可收效。
命令流如下：
finish$/clear$/filname,colu$/prep7
aa=100.0
ai=10000/12.0
l0=1000
em=2e5
pcr=acos(-1)*acos(-1)*em*ai/l0/l0
et,1,3
mp,ex,1,em
r,1,aa,ai,10
k,1,0
k,2,0,l0/2
k,3,0,l0
l,1,2
l,2,3
lesize,all,,,20
lmesh,all
node1=node(0,l0,0)
finish

/solu
dk,1,ux,,,,uy
dk,3,ux
fk,3,f