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离散数学及其应用课后习题答案

【篇一：离散数学及其应用(课后习题)】

出下列命题是原子命题还是复合命题。（3）大雁北回，春天来了。
（4）不是东风压倒西风，就是西风压倒东风。（5）张三和李四在

吵架。解：（3）和（4）是复合命题，（5）是原子命题。
习题1.2
1.指出下列命题的真值：
（1）若2?2?4，则太阳从西方升起。解：该命题真值为t（因为命

题的前件为假）。（3）胎生动物当且仅当是哺乳动物。
解：该命题真值为f（如鸭嘴兽虽是哺乳动物，但不是胎生动物）。
2.令p：天气好。q：我去公园。请将下列命题符号化。（2）只要
天气好，我就去公园。（3）只有天气好，我才去公园。（6）天气

好，我去公园。解：（2）p?q。（3）q?p。（6）p?q。
习题1.3
2.将下列命题符号化（句中括号内提示的是相应的原子命题的符号
表示）：（1）我去新华书店（p），仅当我有时间（q）。（3）只
要努力学习（p），成绩就会好的（q）。（6）我今天进城（p），
除非下雨（q）。（10）人不犯我（p），我不犯人（q）；人若犯

我，我必犯人。解：（1）p?q。（3）p?q。（6）?q?p。
（10）(?p??q)?(p?q)。
习题1.4
1.写出下列公式的真值表：（2）p?(q?r)。
解：该公式的真值表如下表：
2.证明下列等价公式：
（2）(p?q)??(p?q)??(p?q)。证明：
?(p?q)??((p?q)?(?p??q))??(p?q)??(?p??q))??(p?q)?(p?q)?(p
?q)??(p?q)
（4）(p?q)?(p?r)?p?(q?r)。证明：
(p?q)?(p?r)?(?p?q)?(?p?r)??p?(q?r)?p?(q?r)
3.甲、乙、丙、丁4人参加考试后，有人问他们谁的成绩最好，甲
说，不是我。乙说：是丁。丙说：是乙。丁说：不是我。已知4个

人的回答只有一个人符合实际，问成绩最好的是谁？
解：设a：甲成绩最好。b：乙成绩最好。c：丙成绩最好。d：丁成

绩最好。四个人所说的命题分别用p、q、r、s表示，则
p??a；q??a??b??c?d；r??a?b??c??d；s??d。
则只有一人符合实际的命题k符号化为
k?(p??q??r??s)?(?p?q??r??s)?(?p??q?r??s)?(?p??q??r?s)
p??q??r??s??a??(?a??b??c?d)??(?a?b??c??d)?d??a?(a?b
?c??d)?(a??b?c?d)?d?(?a?d)?(a?b?c??d)?(a??b?c?d)
?(?a?b?c?d)?(?a?b?d)?(?a??b?c?d)?(?a?c?d)?0;
同理，
?p?q??r??s?a??a??b??c?d??(?a?b??c??d)?d?0;?p??q?r??
s?a??(?a??b??c?d)??a?b??c??d?d?0;?p??q??r?s?a??(?a?
?b??c?d)??(?a?b??c??d)??d?a?(a?b?c??d)?(a??b?c?d)??d
?a??d.
所以，当k为真时，a??d为真，即甲的成绩最好。
习题1.5
2.证明下列各蕴含式：
（3）p?(q?r)?(p?q)?(p?r)。证明：
方法一：真值表法（列出命题公式(p?(q?r))?((p?q)?(p?r))的真值

表）。
方法二：等值演算法

(p?(q?r))?((p?q)?(p?r))??(p?(q?r))?((p?q)?(p?r))??(?p?(?q?r))
??(?p?q)?(?p?r)?(p?q??r)?(p??q)?(?p?r)
?(p?q??r)?((p??p?r)?(?q??p?r))?(p?q??r)?(?q??p?r)
?(p??q??p?r)?(q??q??p?r)?(?r??q??p?r)?1.
方法三：分析法
（1）直接分析法：若前件p?(q?r)为真，分两种情况：
（i）p为假，则p?q为真，p?r为真，(p?q)?(p?r)为真。
（ii）p为真，则q?r为真，此时若q为真，则r为真，则p?q为

真，p?r为
真，(p?q)?(p?r)为真；若q为假，则p?r为假，(p?q)?(p?r)为真。
综上，若前件为真，后件必为真，故该蕴含式成立。
(2）间接分析法：若后件(p?q)?(p?r)为假，则p?q为真，p?r为假。

由
p?r为假可知，p为真，r为假。再由p?q可知，q为真。此时q?r

为假，
p?(q?r)为假，即前件为假。故蕴含式成立。
5.叙述下列各个命题的逆换式和逆反式，并以符号写出。（1）如

果下雨，我不去。解：设p：天下雨。q：我去。
逆换式：如果我不去，天就下雨。符号表示为?q?p。逆反