09第09讲导数.doc

第9讲导数的概念及其运算
基础梳理
1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为eq\f(fx2－fx1,x2－x1).
若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为eq\f(Δy,Δx).
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝=eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.
4．基本初等函数的导数公式
①若f(x)＝c，则f′(x)＝0；②若f(x)＝xα(α∈R)，则f′(x)＝αxα－1；
③若f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosx；④若f(x)＝cosx，则f′(x)＝－sinx；
⑤若f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则f′(x)＝axln_a；若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex；
⑥若f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，则f′(x)＝eq\f(1,xlna)；若f(x)＝lnx，则f′(x)＝eq\f(1,x).
5．导数四则运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．
6．复合函数的求导法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.
双基自测
1．下列求导过程中①eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq\f(1,x2)；②(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x))；③(logax)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,lna)))′＝eq\f(1,xlna)；
④(ax)′＝(elnax)′＝(exlna)′＝exlnalna＝axlna其中正确的个数是_______．
2．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为_____________________________．
3．曲线y＝eq\f(sinx,sinx＋cosx)－eq\f(1,2)在点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))处的切线的斜率为______________．
4．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＞0的解集为_______________．
5．若函数f(x)＝ax＋bx＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝
考向一导数的定义
【例1】神舟飞船发射后的一段时间内，第ts时的高度h（t）=5t3+30t2+45t+4.其中h的单位为m，t的单位是s.
(1)求第1s内的平均速度v；(2)求第ts末的瞬时速度v（t）；
(3)经过多长时间飞船的速度达到75m／s?

【训练1】利用导数的定义求函数f(x)＝x3在x＝x0处的导数，并求曲线f(x)＝x3在x＝x0处切线与曲线f(x)＝x3的交点．

考向二导数的运算
【例2】求下列各函数的导数：
(1)y＝eq\f(\r(x)＋x5＋sinx,x2)；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(3)y＝sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2cos2\f(x,4)))；(4)y＝eq\f(1,1－\r(x))＋eq\f(1,1＋\r(x))；

【训练2】求下列函数的导数：
(1)y＝xnex；(2)y＝eq\f(cosx,sinx)；(3)y＝exlnx；(4)y＝(x＋1)2(x－1)．

考向三导数的几何意义
【例3】已知函数f(x)＝lnx－ax＋eq\f(1－a,x)－1(a∈R)．
(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)当a≤eq\f(1,2)时，讨论f(x)的单调性．

【训练3】已知曲线
（1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.

考向四：曲线的切线方程的运用
【例4】