数值分析(计算方法)总结.doc

第一章绪论
误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差
是的绝对误差，是的误差，为的绝对误差限（或误差限）
为的相对误差，当较小时，令
相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：即：
绝对误差有量纲，而相对误差无量纲
若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位,且该位直到的第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位.
例：设x==3。1415926…那么，则有效数字为1位，即个位上的3,或说精确到个位。
科学计数法：记有n位有效数字,精确到.
由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误差限为
由相对误差限求有效数字:设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字
令
x+y近似值为和的误差(限）等于误差(限）的和
x—y近似值为
xy近似值为

1．避免两相近数相减
2．避免用绝对值很小的数作除数
3．避免大数吃小数
4．尽量减少计算工作量
第二章非线性方程求根
1.逐步搜索法
设f（a）<0，f（b）>0，有根区间为（a，b），从x0=a出发，按某个预定步长（例如h=（b—a）/N）一步一步向右跨,每跨一步进行一次根的搜索，即判别f（xk)=f（a+kh）的符号，若f（xk）〉0（而f(xk—1）〈0），则有根区间缩小为［xk—1,xk]（若f(xk）=0，xk即为所求根），然后从xk—1出发，把搜索步长再缩小,重复上面步骤，直到满足精度：｜xk—xk—1｜<E为止，此时取x*≈（xk+xk—1）/2作为近似根.
2。二分法
设f(x)的有根区间为［a，b］=［a0，b0］，f（a)<0，f（b）〉0。将［a0，b0]对分，中点x0=(（a0+b0）/2），计算f（x0）。
3.比例法
一般地，设[ak，bk］为有根区间，过(ak，f（ak）)、（bk，f（bk））作直线，与x轴交于一点xk，则：
1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛。
2.比例法不是通过使求根区间缩小到0来求根，而是在一定条件下直接构造出一个点列（递推公式),使该点列收敛到方程的根.——这正是迭代法的基本思想。
事先估计:
事后估计
局部收敛性判定定理:
局部收敛性定理对迭代函数的要求较弱，但对初始点要求较高，即初始点必须选在精确解的附近
Steffensen迭代格式：

Newton法:
Newton下山法：是下山因子
弦割法：
抛物线法：令
其中:

则:

设迭代xk+1=g（xk）收敛到g(x)的不动点（根)x＊设ek=xk-x*若则称该迭代为p（不小于1）阶收敛，其中C（不为0）称为渐进误差常数
第三章解线性方程组直接法
列主元LU分解法：计算主元选主元

对于Ax=b，三角分解A=LU,Doolittle分解:L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵；Crout分解：L为下三角矩阵,U为单位上矩阵。可分解为:
若利用紧凑格式可化为:

Cholesky平方根法：系数矩阵A必须对称正定

改进Cholesky分解法：

其中:
追赶法:Ax=d（A=LU）,可化为Ly=d,Ux=y

向量范数：：
矩阵范数：
谱半径：
收敛条件:谱半径小于1
条件数：
第四章解线性方程组的迭代法
Jacobi迭代：
基于Jacobi迭代的Gauss-Seidel迭代:

迭代收敛：谱半径小于1，范数小于1能推出收敛但不能反推
逐次超松弛迭代（SOR）:

当=1时,就是基于Jacobi迭代的Gauss—Seidel迭代（加权平均）。
第五章插值法
Lagrange插值法:

构造插值函数：
则：
若记：
则可改为：
则插值余项：
逐次线性插值法Aitken（埃特金法）：

Newton插值法：
N（x）=a0+a1（x-x0)+a2(x—x0）(x—x1)+…+an（x—x0）（x-x1）…(x—xn）并满足N（x）=f（x）
差商的函数值表示：
差商与导数的关系:
则:
等距节点Newton插值公式：
Newton向前插值:
余项：
Newton向后插值：
余项：
Hermite插值：

插值余项：
待定系数:
三次样条插值:（三弯矩构造法）
记
对于附加弯矩约束条件：

对于附加转角边界条件:

对于附加周期性边界条件:

上式保证了s（x）在相邻两点的连续性
第六章函数逼近与曲线拟合
主要求法方程
第七章数值积分与数值微分
求积公式具有m次代数精度的充要条件：

插值型求积公式
Newton—Cotes（等分）
梯形求积公式(n=1)，具有1次代数收敛精度
误差公式:
抛物型求积公式（Simpson求积公式，n=2)，具有3次代数收敛精度

误差公式
Newton求积公式（Simpon3/8法则）具有3次代数收敛精度

Cotes求积公式(n=4），具有5次收敛精度

误差