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追求对数学本质的深刻理解
——《圆的认识》教学案例与反思
保康县实验小学：程艾民
【背景分析】
《圆的认识》是小学数学教材中非常传统的一个内容，许多名家将它作为典型研究课例，以不同视角作过精彩演绎。朱乐平老师巧用“脸部整圆术”教学圆的知识，利用两课时的时间让学生逐步感知圆的特征；潘小明老师创设现实中投圈是否公平这一问题情境，展开对圆的探索；张齐华老师运用数学文化的视角为圆的认识打开另一片天空。其实对于圆的认识这样一节研究课，已经被上课者挖掘得非常彻底了，甚至于老师们欣赏圆的认识这节课也已经达到了相当高的水准了。我们知道，圆的科学定义是：在平面内，到达一个定点距离等于定长的点的轨迹叫做圆。但是很少人尝试着从圆的本质属性出发，教学圆的认识。所以我尝试着从圆的本质属性出发，引领学生用“点的轨迹”的思想去感悟、体验和理解圆的本质属性，实现深入浅出的教学圆的认识。
所以我提出了对《圆的认识》教学的几点思考：
1、教学圆的特征时，能否在小学阶段就让学生领悟“圆是平面内到定点距离相等的点的集合”这一本质特征，为学生后续学习和今后有效发展铺设奠基石？
２、探究圆的特征时，除了借助探究材料和有效的实践操作，是否可以利用想象、推理有价值的数学思考方式来学习圆的特征？
３、圆具有深厚的文化内涵，是否可以将圆的文化融合在数学学习过程之中，实现数学知识与数学文化水乳相溶，使数学课堂显得丰满而圆润？
【过程描述】
一、课前游戏：
师：在规定的时间内看谁画的点多。规则：先在白纸上画一个点，然后再画一些点，要求到第一个点的距离都是3厘米。
师：如果有时间给你画，你能画多少个点？
生：可以画无数个点。
师：这些点将会成为什么图形？
生：圆形。
师：我能在很短的时间内画无数个这样的点。你信吗？

（老师用圆规将图画成圆形，板书课题：圆的认识）
二、教学新课
师：你能把刚才自己画的那幅图补充成圆形吗？
师：这是我们第一次用圆规画圆，你觉得哪儿最容易出问题？
生：圆画到最后可能会合不拢。
师：为什么会合不拢？是什么原因呢？
生：圆规两只脚忽大忽小就会这样。
师：就是说圆规两只脚距离不能改变。还有其他情况吗？
生：也有可能针尖动了，也会画不圆。
师：针尖也不能动，看来我们要把重心放在针尖这一边，固定好两脚尖的距离，旋转一周后就可以得到圆形，这些都是画圆的技巧。
师：同学们，看到这个圆，让你联想到生活中的哪些物体？
生：硬币、月饼、钟面……
生：篮球
师：真是很厉害，能把平面图型想象成立体图形，不过老师要告诉你，球形与圆形还是有很大区别的。能说完吗？老师也带来了一些。瞧！（美丽的圆形图片）就连大自然对圆也是情有独钟！（欣赏美丽的光环、绽放的向日葵等）
师：圆美吗？
生：美！
师：难怪古希腊有位数学家说：“在一切平面图形中，圆是最美的。”
师：圆看似简单其实一点也又不简单！在圆里，还隐藏着许多数学知识！
三、圆的各部分名称与圆的特征
师：在这个圆里，中间的这个点叫圆心，用字母O表示，你还知道哪些数学知识？
生：半径ｒ。
师：能上来画一条半径吗？（生上来画半径）还有哪些知识？
生：直径ｄ。
师：请你也上来画一条，好吗？（生上来画直径）
师：用自己的话说一说什么是半径？
生：圆心到圆边的线段。
师：圆边在数学上叫做圆上。那什么叫做直径呢？
生：路过圆心，两个端点在圆上的线段叫直径。
师：这只是我们感性的认识，要想得到更科学的概念，我们还得请教书本。
（自学书本找到半径与直径的概念，并读一读。）
师：半径是连接圆心到原上任意一点的线段，这“任意一点”你是怎么理解的？
生：就是随便哪一点都可以，圆上有无数个点，取一个点就可以。
师：现在请你在自己的圆内标出圆心，并画一条半径。
师：你还能画多少条半径（继续画）？画的完吗？
生：画不完，有无数条？
师：你是怎么想的？
生：因为圆上有无数个点，都可以连接圆心成为半径，所以有无数条半径。
师：量一量这些半径的长度，相等吗？
生：半径长度都相等，都是３厘米
师：你量了几条半径？
生：我量了２条。
师：凭什么说半径长度都相等。
生：我们可以通过测量半径是３厘米，而刚才的游戏规则就是要求每个点到到圆心的距离是３厘米。
生：我还可以用圆规来量（用圆规在圆上走一圈），两脚的距离没有变，所以说半径都相等。
师：掌声还在等什么？（众生鼓掌）
师：现在我们已经研究了半径的特征，现在可否想象一下直径有多少条，长度都相等吗？
生：直径也有无数条，长度都相等。
师：直径有无数条，我们可以借助半径有无数条类比推理。那么直径长度都相等，你是怎么知道的呢？
生：可以借助测量半径的经验，测的所有直径的长度都是６厘米。
生：还可以看出直径是半径的两倍，半径都相等，直径肯定都相等。
师：直径是半径的２倍，你是怎么知道的？
生：直径可以分成２条半径呀？
师：真不错，半径