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动态规划总结
byAmber

1.按状态类型分

写在前面：
从状态类型分，并不表示一题只从属于一类。其实一类只是一种状态的表示方法。可以好几
种方法组合成一个状态，来解决问题。

1.1.编号（长度）动态规划

共性总结
本类的状态是基础的基础，大部分的动态规划都要用到它，成为一个维。
一般来说，有两种编号的状态：
状态(i)表示前i个元素决策组成的一个状态。
状态(i)表示用到了第i个元素，和其他在1到i-1间的元素，决策组成有的一个状态。
题库
a)最长不下降子序列
以一元组(i)作为状态，表示第i个作为序列的最后一个点的时候的最长序列。于是
很容易想到O(n2)得算法。但本题可合理组织状态，引入一个单调的辅助数组，利用单
调性二分查找，优化到O(nlogn)。关于优化详见优化章。
一些问题可将数据有序化，转化成本题。
应用：
拦截导弹(NOIP99Advance1)就是原题。
BeautifulPeople(sgu199)，要将数据有序化：其中一个权作为第一关键字不下降排
列，另一个权作为第二关键字不上升。
Segment(ural1078)，将线段的左端点有序化就可以了。
b)LCS
状态(i,j)，表示第1个字符串的第i位，与第2个字符串的第j位匹配，得到的最长
的串。若有多个串要LCS，则加维，即几个串就几个维。我也将此题归入路径问题。
c)花店橱窗布置(IOI99)
见路径问题。

1.2.区间动态规划

共性总结
本类问题与下一章的划分问题的决策的分割点无序交集比较大（占本类问题的30%）。
题库
a)石子合并
见划分问题

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b)模版匹配(CEOI01,Patten)
这题特殊的地方是状态的值是一个集合而不是一个数。
c)不可分解的编码(ACMWorldFinal2002)
d)ElectricPath(ural1143)
e)邮局(IOI2000Day21)
若状态表示的思路从第i个村庄可以从属于哪个邮局，无最优子结构。转变一个方
向：第k个邮局可以“控制”一个区间的村庄[i,j]。于是方程就显然了:
f(k,i,j)=min{f(k-1,p,i-1)+w(i,j)}(k-1<=p<=i-1)
S(i)为村庄i到原点的距离。
w(i,j)=min{k|Sum{|S(k)-S(p)|}(i<=p<=j)}(i<=k<=j)找到[i,j]间最好的一个邮局点。
不过可以发现Sum{|S(k)-S(p)|是单调的，所以取中位数就可以了。即上式中k的取
值范围只有floor((i+j)/2),ceil((i+j)/2)两个。Floor是下取整。Ceil是上取整。这样每次转
移时间降到O(1)。
注意到是区间连续的，即(p,i-1)和(i,j)中的i-1,i是连续的，所以空间可以降维：
f(i,j)表示放前i个邮局到前j个村庄的最优值。
f(i,j)=min{f(i-1,p-1)+w(p,j)}(i-1<=p<=j-1}
e(i,j)为当f(i,j)到达最优值时的p.
通过证明四边形不等式，得到e(i,j)<=e(i,j+1)<=e(i+1,j+1)
决策数量又少了一个数量级。

1.3.坐标动态规划

共性总结
之后的一些问题，状态是由坐标维与其他的维组成。本类与划分问题(是2维或多维的
坐标系的划分)与路径问题的交集占本类问题中大多数。
题库
a)棋盘分割(NOI994)
主要是将公式变形，变形后的公式很容易看出方程。
状态是由2个坐标组成的4元组(x1,y1)(x2,y2)，表示一个子棋盘。这有点像之前的
区间动态规划，只不过是将1维转2维。
后见路径问题。

1.4.数轴动态规划

共性总结

题库
a)01背包
应用：
装箱问题（NOIP01Trade4）
就是原题。
值币分割
可利用方程的性质，空间降1维。

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币值可重复的值币分割(pku1742,ProblemFLouTianCheng’sContestinPOJ)
使用左右法在定位上加速。
另给状态加一个属性last,记录上一次剩下的可用的同币值硬币数（利用了当前
转移是唯一前驱的特点）。
b)取火柴问题(sgu153Playingwithmatches)

c)StonePile(ural1005StonePile)
d)公路巡逻(CTSC2000)

1.5.5.树型动态规划

共性总结
1）动态规划的顺序
一般按照后序遍历的顺序，即处理完儿子再处理当前节点，才符合树的子结构的性