与圆有关的阴影面积的计算.doc

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九年级数学习题第页

辅导材料:与圆有关的阴影面积的计算

准备阶段:
1.圆的面积公式:.其中为圆的半径.
2.半圆的面积公式:.
3.扇形的面积公式:.其中为扇形的半径,为扇形的半径.
4.扇形的面积公式（另）:.其中为扇形的半径,为扇形的弧长.
证明:∵,
∴.
5.关于旋转:
（1）复习旋转的性质.
（2）会画出一个图形旋转后的图形.
（3）旋转的作用:通过旋转,有时候我们可以把分散的几何条件集中起来,使题目呈现出整体上的特点.
该作用也常用于与圆有关的阴影面积的计算.
6.重点介绍:转化思想
在解决数学问题时,把复杂问题简单化,把一般问题特殊化,把抽象问题具体化等的思想方法,叫做转化思想.
7.怎样求与圆有关的阴影的面积?
（1）利用圆、半圆以及扇形的面积计算公式.
（2）利用整体与部分之间的关系.
（3）采用整体思想求不规则图形的面积,一般将其转化为规则图形的和差来解决,具体可以通过平移、旋转或割补的形式进行转化.
实战阶段:
★1.（2015.河南）如图（1）所示,在扇形AOB中,∠AOB=90°,点C为OA的中点,CE⊥OA交弧AB于点E.以点O为圆心,OC的长为半径作弧CD交OB于点D.若OA=2,则阴影部分的面积为__________.

解析:图（1）中阴影所在图形为不规则图形,可以利用整体与部分之间的关系的方法求解,即采用整体和差的方法.
解:连结OE.
∴OA=OB=OE
∵CE⊥OA
∴△COE为直角三角形
∵点C为OA的中点
∴
∴在Rt△COE中,∠CEO=30°
∴∠EOC=60°
∵∠AOB=90°
∴∠BOE=30°
在Rt△COE中,由勾股定理得:

★2.（2015.贵州遵义）如图（2）所示,在圆心角为90°的扇形OAB中,半径OA=2cm,C为弧AB的中点,D、E分别是OA、OB的中点,则图中阴影部分的面积是__________.

解:连结OC,并作CM⊥OA于点M.
∵点C为弧AB的中点,∠AOB=90°
∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=45°
∴△COM为等腰直角三角形
∴OM=CM
∵OC=2cm
∴CM=OCcm
∵D、E分别是OA、OB的中点
∴OD=OE=1cm
∴DM=OM－OD=cm

cm2.
注意:若题目对结果无特殊要求,则结果保留,不取具体值.
★3.(2015.开封二模)如图（3）所示,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,AB=2.点D为AB的中点,以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF,点C恰好在弧EF上,则图中阴影部分的面积为_____
__________.
解析:本题问题的解决要用到三角形全等的知识,请复习:
（1）三角形全等的判定定理有哪些?
（2）全等三角形具有怎样的性质?
对于第二个问题,全等三角形的面积相等,我们可以借助该性质将三角形的面积等量转化.

解:连结CD.设DE与AC交于点M,DF与BC交于点N.

∵∠ACB=90°
∴∠CDE＋∠1=90°
∵CA=CB,点D为AB的中点
∴CD⊥AB（等腰三角形“三线合一”）
∴∠CDE＋∠2=90°
∴∠1=∠2
∴∠DCN=ACB=45°
∴∠DAM=∠DCN
∵∠ACB=90°
∴
∴DE=CD=1
在△ADM和△CDN中
∵
∴△ADM≌△CDN(ASA)
∴S△ADM=S△CDN
∵S四边形DMCN=S△CDM+S△DCN
S△ACD=S△CDM+S△ADM
∴S四边形DMCN=S△ACD
∴

在求扇形的面积时确定圆心角的度数很重要
大多数扇形的圆心角题目会直接给出,但有时却需要我们自己求解.见第★5题.
★4.（2015.洛阳一模）如图（4）所示,在扇形OAB中,∠AOB=90°,半径OA=6.将扇形AOB沿过点B的直线折叠.点O恰好落在弧AB上点D处,折痕交OA于点C,则图中阴影部分的面积为__________.

解析:本题,,题目所给条件不难求出扇形OAB的面积,但△BOC的面积不易求得.如果连结OD,那么OB=OD,再根据对折,得OB=BD,从而OB=OD=BD,即△BOD为等边三角形.至此,问题便很容易解决.
解:连结OD.

∴OB=OD
∵△BOC≌△BDC（由翻折可得）
∴OB=BD,∠OBC=∠DBC
∴OB=OD=BD
∴△BOD为等边三角形
∴∠OBD=60°
∴∠OBC=∠DBC=30°
在Rt△BOC中,∵∠OBC=30°
∴
∴
∴OC=
∴

★5.（2015.焦作一模）如图（5）所示,在矩形ABCD中,AB=,AD=1,把该矩形绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′,点C′落在AB的延长线上,则图中阴影部分的面积是__________.

解:在Rt△ABC中,由勾股定理得:

∴AC=