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运用建模方法求解与旅游有关的数学问题

近年，我国旅游事业蓬勃发展，从而以旅游为背景的各类数学

问题应运而生．本文以近几年来的部分中考试题为例，分析与旅

游有关的数学问题的建模类型．

一、用方程(或方程组)建模的旅游问题例1为吸引市民组团

去风景区旅游，观光旅行社推出了如下收费标准:如果人数不超过15

人，人均旅游费用500元，如果人数超过15人，每增加1人，人均

旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于320元，某单位员工

去风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用10500元，请问该单位这次

共有多少员工去风景区旅游?

解设人数为x，则x［500-10(x-15)］=10500，解得x=30，
1
x=35．因为人均旅游费用不得低320元，所以x=30(人)．
2
答:(略．)

例22010年国庆长假期间，某旅行社接待“世博一日游”的游客

和“世博三日游”的旅客旅客共1600人，收取旅游费129万元，其中

一日游每人收费150元，三日游每人收1200元，该旅行社接待的一

日游和三日游的游客各是多少人?
解设一日游的游客为x人，三日游的游客为y人，可列方程组:
x+y=1600，
150x+1200y=1290000．
解得x=600(人)，y=1000(人)．

答:略()

注用方程(或方程组)建模的数学问题，解题的关键是抓住题中的
相等关系，从而建立方程或方程组解决问题．现实生活中还有其他很

多类似问题，例如:储蓄利息、打折促销、工程问题、行程问题、浓

度配比问题等，都可以用方程或方程组模型来求解

二、用不等式(或不等式组)建模的旅游问题例3某旅社某天有

空10间，当天接待了一个旅游团，当每个房间住3人时，有一个房

间住宿的情况是不空也不满，若旅游团的人数为偶数，求旅游团有多

少人?

解设旅游团有x人，有一个房间不空也不满，则9间是满的，

9×3人外，还有x-9×3人．不空也不满人数就是大于0小于3，

∴0＜x-27＜3，∴27＜x＜30．∵x是偶数，∴x=28．即旅游

团有28人．

注用不等式或不等式组建模的数学问题，解决问题的关键是抓

住题中数量之间的不等关系，列出不等式或不等式组建立模型．现

实生活中还有其他很多类似问题，例如:人员分配、“最大”“最小”

问题、价格范围等，通常用不等式或不等式组的模型来求解．

三、用函数建模的旅游问题

例4暑假期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅

游．出发前，汽车油箱内储油45升;当行驶150千米时，发现油箱

剩余油量为30升．

(1)已知油箱内余油y(升)是行驶路程x(千米)的一次函数，求

y与x的函数关系式;

(2)当油箱中余油量少于3升时，汽车将自动报警．如果往返途
中不加油，他们能否在汽车报警前回到家?请说明理由．

45-30
解(1)依题意，设y=45-kx由已知，得k=150=0.1．

∴y=45-0.1x．

(2)由3=45-0.1x，解得x=420(千米)．即在报警前可以用的

42升油最多可以行使420千米，往返才400千米，可以在报警前回

家．

例5某单位计划10月份组织员工到A地旅游，人数估计在10

~25人之间．甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价均为200

元．该单位上门联系时，甲社表示可给予每位游客七五折优惠;乙社

表示可先免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠．设该单位去

A地的旅游人数为x，若选择甲社，则所需总费用为y元;若选择
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乙社，则所需总费用为y元．
2
(1)分别求出y、y与x的函数关系式;
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(2)在同一平面直角坐标系中，画出上述两个函数的图象;

(3)求出两条直线的交点坐标，并说明它的实际意义．

解(1)y=200x×75%=150x;
1
y=200(x-1)×80%=160x-160．
2
(2)过(0，0)，(4，600)画直线y;过(1，0)，(8，1120)画直线y
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(图略)．

(3)由图象可知，当人数x=16时，选择甲、乙两家旅行社所需

总费用相同．

注用函数建模的数学问题，解题的关键是找出题中数量之间的
函数关系，确定函数关系式，再根据函数的性质以及函数图像的性质

来求解．现实生活中还有很多类似问题，如:最佳方案、最小成本、

用料造价等，都可以用函数模型来求解．

四、与概率组合有关的旅游问题

6某旅游团计划在3天内旅游3个景点A、B、C，每天只能浏

览其中的1个景点．如果采取抽签的方法决定浏览顺序，那么

(1)共有几种不同的安排方案?

(2)第1天浏览景点A，第2天浏览景点B，第3天浏览景点C

的概率是多少?

(3)第1天浏览景点A的概率是多少?

解(1)6种，第一天有三个选择