线形代数讲义.doc

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前言

各位同学：大家好！欢迎大家学习《线性代数（经管类）》这门课程。我们共同努力的目标是：掌握线性代数的基本概念、基本公式、基本方法、基本思想，顺利地通过高等教育自学考试。同时还希望你们通过这门课的学习，磨练意志，增强信心，改进学习方法，提高自学能力、逻辑推理能力和分析问题解决问题的能力。1.树立信心首先，希望大家要有信心，有了信心，往往就成功了一半。2.坚持不懈，持之以恒信心来自于坚持不懈的努力。能否坚持不懈是成败的关键。3.正确的学习方法也是十分重要的（1）数学是科学的语言，为学好数学必须努力提高理解、运用数学语言的能力，这就要像学英语一样，要会叙述（背诵）重要的定义、定理。熟记重要公式。（2）要通过做习题使你更深刻地理解基本概念和基本公式。达到会使用基本概念、基本公式解决基本问题的目的。在做练习之前要先复习，能将主要概念和公式背诵出来，能把课上例题独立地做出来。然后再做练习。（3）学会作总结。每节课一小结，每一章作一个总结。要总结每部分的主要定义、主要定理、主要公式、典型习题的解题方法，抓住主要的知识点。（最好在不看书、不看笔记的情况下作此总结!实在想不起来时再看一下书。）在每一章总结的基础上，做这章的练习题和历届自学考试的真题。让我们共同努力!预祝大家取得成功。

第一部分行列式

本章概述

行列式在线性代数的考试中占很大的比例。从考试大纲来看。虽然只占13%左右。但在其他章的试题中都有必须用到行列式计算的内容。故这部分试题在试卷中所占比例远大于13%。
大纲中规定的比例07.4全国统考试题07.7全国统考试题07.10全国统考试题直接考行列式这一章的13%左右11%11%15%再加上其余各章中必须应用行列式计算的34%29%21%1.1行列式的定义1.1.1二阶行列式与三阶行列式的定义一、二元一次方程组和二阶行列式例1.求二元一次方程组的解。【答疑编号12010101】解：应用消元法得当时。得同理得定义称为二阶行列式。称为二阶行列式的值。记为。于是由此可知。若。则二元一次方程组的解可表示为：例2【答疑编号12010102】二阶行列式的结果是一个数。我们称它为该二阶行列式的值。二、三元一次方程组和三阶行列式考虑三元一次方程组希望适当选择。使得当后将消去。得一元一次方程若，能解出其中要满足为解出。在（6），（7）的两边都除以得这是以为未知数的二元一次方程组。

定义1.1.1在三阶行列式中，称于是原方程组的解为;类似地得这就将二元一次方程组解的公式推广到了三元一次方程组。例3计算【答疑编号12010103】

例4（1）【答疑编号12010104】（2）【答疑编号12010105】

例5当x取何值时，？【答疑编号12010106】

为将此结果推广到n元一次方程组。需先将二阶、三阶行列式推广到n阶行列式。1.1.2n阶行列式的定义定义1.1.2当n时，一阶行列式就是一个数。当时，称为n阶行列式。定义（其所在的位置可记为的余子式的代数余子式。定义为该n阶行列式的值。即。容易看出，第j列元素的余子式和代数余子式都与第j列元素无关；类似地，第i行元素的余子式和代数余子式都与第i行元素无关。n阶行列式为一个数。例6求出行列式第三列各元素的代数余子式。【答疑编号12010107】

例7（上三角行列式）【答疑编号12010108】

1.2行列式按行（列）展开定理1.2.1（行列式按行（列）展开定理）例1下三角行列式＝主对角线元素的乘积。【答疑编号12010201】例2计算行列式【答疑编号12010202】

例3求n阶行列式【答疑编号12010203】

小结1.行列式中元素的余子式和代数余子式的定义。2.二阶行列式的定义。3.阶行列式的定义。即。4.行列式按行（列）展开的定理和应用这个定理将行列式降阶的方法。作业p8习题1.11（1）（2）（3）（5）（6），3作业p11习题1.21，2，3（1），（2），41.3行列式的性质及计算1.3.1行列式的性质给定行列式将它的行列互换所得的新行列式称为D的转置行列式，记为或。性质1转置的行列式与原行列式相等。即性质2用数k乘行列式D的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于kD。推论1若行列式中某一行（列）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。推论2若行列式中某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为0。性质3行列式的两行（列）互换，行列式的值改变符号。以二阶为例设推论3若行列式某两行（列），完全相同，则行列式的值为零。证设中，第i行与第j行元素完全相同，则所以，D=0。性质4若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。性质5若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和，则行列式可分解为两个行列式的