高数上册知识点总结.pdf

高数重点知识总结

x
1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(ya)，

三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)

2、分段函数不是初等函数。
xx
例如：lim2lim1
3、无穷小：高阶+低阶=低阶x
x
x0
x0x
1x
sinx1
1
(1)lim(2)lim1xee
4、两个重要极限：xlim1
x0xx0xx

limf(x)g(x)
g(x)
经验公式：当x,f(x)0,g(x)，lim1f(x)
x0exx0
xx0

1lim3x
lim13xe3
例如：
xex0x
x0

5、可导必定连续，连续未必可导。例如：y|x|连续但不可导。

6、导数的定义：limf(xx)f(x)f'(x)limf(x)f(x)f'x
00

xxx0

x0xx0

dfg(x)
7、复合函数求导：f'g(x)g'(x)
dx

1
1
2x2x1
例如：yxx,y'
242
xxxxx

8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx
221
xy
x
例如：解：法(1),左右两边同时求导,2x2yy'0y'

y
dyx
法(2),左右两边同时微分,2xdx2ydy

dxy
dyg'(t)
yg(t)，则，其二阶导数：
9、由参数方程所确定的函数求导：若dy/dt

xh(t)dxdx/dth'(t)

d(dy/dx)dg'(t)/h'(t)
2
dyddy/dxdtdt
2
dxdxdx/dth'(t)

))
10、微分的近似计算：f(x0x)f(x0xf'(x0例如：计算sin31

sinx（x=0
11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：y是

x

函数可去间断点），ysgn(x)（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷

11
间断点；例如：f(x)sin（x=0是函数的振荡间断点），y（x=0是函数的无穷间

xx

断点）

12、渐近线：

水平渐近线：ylimf(x)c
x

若，，则是铅直渐近线.
铅直渐近线：limf(x)xa
xaf(x)
设斜渐近线为即求lim,b
斜渐近线：yaxb,alimf(x)ax
xxx

321
xxx
例如：求函数y的渐近线
x21

13、驻点：令函数y=f(x)，若f'(x0)=0，称x0是驻点。

14、极值点：令函数y=f(x)，给定x0的一个小邻域u(x0,δ),对于任意x∈u(x0,δ)，都有f(x)

≥f(x0)，称x0是f(x)的极小值点；否则，称x0是f(x)的极大值点。极小值点与极大值点统

称极值点。

15、拐点：连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点，称为曲线弧的拐点。

16、拐点的判定定理：令函数y=f(x)，若，且；x>x0时，或

；x>x0时，，称点(x0，f(x0))为f(x)的拐点。

17、极值点的必要条件：令函数y=f(x)，在点x0处可导，且x0是极值点，则f'(x0)=0。
)0)
18、改变单调性的点：f'(x0，f'(x0不存在，间断点（换句话说，极值点可能是驻

点，也可能是不可导点）

19、改变凹凸性的点：，f''(x)不存在（换句话说，拐点可能是二阶导数等于
00

零的点，也可能是二阶导数不存在的点）

20、可导函数f(x)的极值点必定是驻点，但函数的驻点不一定是极值点。

21、中值定理：
)0
(1)罗尔定理：f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点，使得f'(

(2)拉格朗日中值定理：f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点，使得

f(b)f(a)(ba)f'()

(3)积分中值定理：f(x)在区间[a,b]上可积，至少存在一点，使得

b
)
f(x)dx(ba)f(

a

22、常用的等价无穷小代换：

x1~2(1
x~sinx~arcsinx~arctanx~tanx~ex1)~ln(1x)
1
1cosx~x2
2111
sinx~x3,xsinx~x3,tanxx~x3
tanx
263

1
x解：y'x1
23、对数求导法：例如，yx，lnyxlnxlnx1y'xlnx
y
0
24、洛必达法则：适用于“”型，“0
”型，“”型等。当
0

0/0
xx0,f(x)0/,g(x)，f'(x),g'(x)皆存在，且g'(x)，则

f(x)f'(x)exsinx10excosx0exsinx1
lli
imm例如，limlimlim

xxg(x)xx2
g'(x)x02x022
00x0x0x0
223
x12x3x2x
25、无穷大：