期末随机过程试题及答案.pdf

t
,如果t时取得红球
《随机过程期末考试卷》变量X(t)3，则这个随机过程的
et,如果t时取得白球
状态空间。
1．设随机变量X服从参数为的泊松分布，则X的
6．设马氏链的一步转移概率矩阵P=(p)，n步转移矩
特征函数为。ij
阵P(n)(p(n))，二者之间的关系为。
ij
2．设随机过程X(t)=Acos(t+),-<t<其中为正常
7．设X,n0为马氏链，状态空间I，初始概率
数，A和是相互独立的随机变量，且A和服从在区n
pP(X=i)，绝对概率p(n)PXj，n步转移概率
间0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望i0jn
p(n)，三者之间的关系为。
为。ij
8．设{X(t),t0}是泊松过程，且对于任意tt0则
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机21
变量，且服从均值为的同一指数分布。P{X(5)6|X(3)4}______

9．更新方程t解的一般形式
4．设W,n1是与泊松过程X(t),t0对应的一个等KtHtKtsdFs
n0
待时间序列，则W服从分布。为。
n
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从10．记
tEX,对一切a0，当t时，Mt+aMt。
袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的对应随机n
得评卷二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32
人分）分人分）

1.设A,B,C为三个随机事件，证明条件概率的乘法公1.设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为

式：P(BCA)=P(BA)P(CAB)。1/32/30

P1/302/3，求其平稳分布。
2.设{X(t),t?0}是独立增量过程,且X(0)=0,证明
01/32/3
{X(t),t?0}是一个马尔科夫过程。
2.设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，
3.设X,n0为马尔科夫链，状态空间为I，则对任意
n求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率。
整数n0,1l<n和i,jI，n步转移概率p(n)p(l)p(n-l)，
ijikkj
kI
称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天

意义。气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为，而

今天无雨明天有雨的概率为；规定有雨天气为状态
4.设N(t),t0是强度为的泊松过程，Y,k=1,2,是一
k
0，无雨天气为状态1。设，求今天有雨
列独立同分布随机变量，且与N(t),t0独立，令0.7,0.4

N(t)且第四天仍有雨的概率。
X(t)=Y,t0，证明：若E(Y2<)，则EX(t)tEY。
k11
k=1

评卷三、计算题（本大题共4道小题，每题8分，共32
4.设有四个状态的马氏链，它的一步转移概12
I=0，1，2，34．5．t,t,;e,e2。6．P(n)Pn。
33
1100
22
117．p(n)pp(n)。
率矩阵00jiij
P=22iI
1111
4444
ta
00018．18e69。KtHtKtsdMs10.
0
（１）画出状态转移图；
二．证明题
（２）对状态进行分类；
1.

（３）对状态空间I进行分解。P(ABC)P(ABC)P(AB)
证明：左边=P(CAB)P(BA)=
P(A)P(AB)P(A)
评卷四、简答题（本题6分）右边
人
2.

证明：当0tttt时，
简述指数分布的无记忆性与马尔科夫链的无后效性的12n
P(X(t)xX(t)=x,X(t)=x,X(t)=x)=
关系。1122nn
P(X(t)-X(t)x-xX(t)-X(0)=x,X(t)-X(0)=x,X(t)-X(0)=x)
一．填空题nn1122nn
=
11
1．为e(eit-1)。2．(sin(t+1)-sint)。3．
2
P(X(t)-X(t)x-x)，又因为示。
nn

P(X(t)xX(t)=x)=P(X(t)-X(t)x-xX(t)=x)=
nnnnnn4.

P(X(t)-X(t)x-x)，故
nn
证明：由条件期望的性质EX(t)EEX(t)N(t)，而
P(X(t)xX(t)=x,X(t)=x,X(t)=x)=
1122nnN(t)
EX(t)N(t)nEYN(t)n
i
P(X(t)xX(t)=x)i=1
nn

nn
3.=EYN(t)n=EY=nE(Y)，所以
