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机械能守恒定律典型例题剖析

例1、如图示，长为l的轻质硬棒的底端和中点各固定一个质量为m的小球，为使轻质硬棒能绕转
轴O转到最高点，则底端小球在如图示位置应具有的最小速度v=。

解：系统的机械能守恒，ΔEP+ΔEK=0

因为小球转到最高点的最小速度可以为0，所以，例2.如图所示，一固定的楔形
木块，其斜面的倾角θ=30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。一柔软的细
线跨过定滑轮，两端分别与物块A和B连结，A的质量为4m，B的质量为m，开始
时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升。物块A与斜面间无摩擦。设当A
沿斜面下滑S距离后，细线突然断了。求物块B上升离地的最大高
度H.

解：对系统由机械能守恒定律4mgSsinθ–mgS=1/2×5mv2∴

v2=2gS/5

细线断后，B做竖直上抛运动，由机械能守恒定律mgH=mgS+1/2×mv2∴H=1.2S例3.如图所示，半

径为R、圆心为O的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套在大圆环上．一根轻质长绳穿过
两个小圆环，它的两端都系上质量为m的重物，忽略小圆环的大小。（1）将两个小圆环固定在大圆
环竖直对称轴的两侧θ=30°的位置上(如图)．在

两个小圆环间绳子的中点C处，挂上一个质量M=m2的重物，使两个小圆
环间的绳子水平，然后无初速释放重物M．设绳子
与大、小圆环间的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距离．
（2）若不挂重物M．小圆环可以在大圆环上自由移动，且绳子与大、小圆
环间及大、小圆环之间的摩擦均可以忽略，问两个小圆环分别在哪些位置
时，系统可处于平衡状态?
解：(1)重物向下先做加速运动，后做减速运动，当重物速度
为零时，下降的距离最大．设下降的最大距离为h，

仅供个人学习参考

Mgh2mgh2Rsinθ2Rsinθ由机械能守恒定律得解得（另解h=0
h2R
舍去）(2)系统处于平衡状态时，两小环的可能位置为两小环同时位于大圆
环的底端．
b．两小环同时位于大圆环的顶端．c．两小环一个位于大圆环的顶端，另
一个位于大圆环的底端．d．除上述三种情况外，根据对称性可知，系统如
能平衡，则两小圆环的位置一定关于大圆环竖直对称轴对称．设平衡时，
两小圆环在大圆环竖直对称轴两侧α角的位置上(如图所示)．对于重物，
受绳子拉力与重力作用，有T=mg
对于小圆环，受到三个力的作用，水平绳的拉力T、竖直绳子的拉力T、大圆环的支持力N.两绳子
的拉力沿大圆环切向的分力大小相等，方向相反
得α=α′,而α+α′=90°，所以α=45°例4.如图质量为m的物体A经一轻
1
质弹簧与下方地面上的质量为m的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都
2
处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一
轻挂钩。开始时各段绳都牌伸直状态，A上方的一段沿竖直方向。现在挂钩上
挂一质量为m的物体C上升。若将C换成另一个质量为(m+m)物体D，仍从上
313
Am
述初始位置由静止状态释放，则这次B则离地时D的速度的大小是多少？已知1
重力加速度为g。

解:开始时，B静止平衡，设弹簧的压缩量为xkxmg
1,11

挂C后，当B刚要离地时，设弹簧伸长量为x，有kxmg
222
此时，A和C速度均为零。从挂C到此时，根据机械能守恒定律弹簧弹性势能的改变量为
1
将C换成D后，有E(mmm)v2(mm)g(xx)mg(xx)
21311312112

2m(mm)g2
联立以上各式可以解得v112
k(2mm)
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直击机车启动问题

一、机车的两种启动问题
当机车从静止开始沿水平面加速运动时，有两种不同的加速过程，但分析时采用的基本公式都
是P=Fv和F-f=ma.为使问题简化，假定机车所受阻力大小恒定.
1

仅供个人学习参考

由公式P=Fv和F-f=ma知，由于P恒定，随着v的增大，F必将减小，a也必将减小，机车做

加速度不断减小的加速运动，直到F=f，a=0，这时v达到最大值可见恒定功率的加
速运动一定不是匀加速运动.这种加速过程发动机做的功只能用W=Pt计算，不能用W=Fs计算（因

为F为变力）.?

2．恒定牵引力的加速问题
由公式P=Fv和F-f=ma知，由于F恒定，所以a恒定，机车做匀加速运动，而随着v的增大，
功率也将不断增大，直到功率达到额定功率P，功率不能再增大了.这时匀加速运动结束，其最大

速度为，此后机车要想继续加速就只能做恒定功率的变加速运动了.可见当机车做

恒定牵引力的加速运动时功率一定不恒定.这种加速过程发动机做的功只能用W=F·s计算，不能用
W=P·t计算（因为P为变功率）.
以上机车的两种启动过程可用如图所示的v-t图像来概括说明.0