国开(中央电大)本科《复变函数》网上形考(任务1至3)试题及答案.pdf

国开（中央电大）本科《复变函数》网上形考（任务1至3）
试题及答案

国开(中央电大)本科《复变函数》网上形考(任务1至3)试题及答
案形考任务1试题及答案一、选择题1.若z1=（a，b），z2=（c，
d），则z1·z2=（）。
[答案]（ac-bd，bd+ad）
2.若R>0，则N（∞，R）={z：（）}。
[答案]丨z丨>R3.若z=x+iy，则y=（）。
[答案]4.若，则丨A丨=（）。
[答案]1二、填空题5.若z=x+iy，w=z2=u+iv，则v=_______.[答
案]2xy6.复平面上满足Rez=4的点集为_______.[答案]{x：x=4，x∈R}
7._______称为区域。
[答案]连通的开集8.设z0=x0+iy0，zn=xn+iyn（n=1，2，…），
则{zn}以z0为极限的充分必要条件是=_______且=_______。
[答案]x0，y0三、计算题9.求复数-1-i的实部、虚部、模与主辐
角.[答案]解：Re(-1-i)=-1Im(-1-i)=-1|-1-i|=10.写出复数-i的三角
式.[答案]11.写出复数的代数式.[答案]解：
12.求根式的值.[答案]四、证明题13.证明：若，则a2+b2=1.证
明：
14.证明：
证明：
形考任务2试题及答案一、选择题1.若f（z）=x2-y2+2xyi，则
=（）。
[答案]2x+2yi2.若f（z）=u（x，y）+iv（x，y），则柯西—黎
曼条件为（）。
[答案]3.若f（z）=z+1，则f（z）在复平面上（）。
[答案]处处解析4.若f（z）在复平面解析，g（z）在复平面上连
续，则f（z）+g（z）在复平面上（）。
[答案]连续二、填空题5.若f（z）在点a_______，则称a为f（z）
的奇点.[答案]不解析6.若f（z）在点z=1_______，则f（z）在点z=1
解析.[答案]不解析7.若f（z）=z2+2z+1，则f＇(z)=_______.[答案]
2z+28.若，则f＇(1)=_______.[答案]-三、计算题9.设f（z）=zRe
（z），求。
解：
=10.设f（z）=excosy+iexsiny，求f＇(z)。
解：f(z)=excosy+iexsiny=ez,z=x+iyu=excosyv=exsiny
f(z)=u+iv∴f(z)在复平面解析，且=excosy+iexsiny11.设f（z）
=u+iv在区域G内为解析函数，且满足u=x3-3xy2，f（i）=0，试求
f（z）。
解：依C-R条件有Vy=ux=3x2-3y2则V（x1y）=3x2y-y3+c(c
为常数)故f(z)=x3-3xy2+i(3x2y-y3+c)=x3-3xy2+i(cx2y-y3)+ic
=z3+ic，为使f(i)=0,当x=0,y=1时，f(i)=0,有f(0)=-i+ic=0∴c=1
∴f(z)=Z3+i12.设f（z）=u+iv在区域G内为解析函数，且满足u=2
（x-1）y，f（2）=-i，试求f（z）。
解：依C-R条件有Vy=ux=2y∴V==y2+(x)∴Vx=∴(x)=V=y2-
x2+2x+c(c为常数)∴f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x+c)为使f(z)=-i,当x=2
y=0时,f(2)=ci=-i∴c=-1∴f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x-1)=-(z-1)2i四、
证明题13.试在复平面讨论的解析性。
解：令f(z)=u+ivz=x+iy则iz=i(x+iy)=-y+ix∴u=-yv=x于是
ux=0uy=-1Vx=1Vy=0∵ux、uy、vx在复平面内处处连接又
Ux=VyUy=-Vx。
∴f(z)=iz在复平面解析。
14.试证：若函数f（z）在区域G内为解析函数，且满足条件f＇
(z)=0，z∈G，则f（z）在G内为常数。
证：设f(z)=u+iv,z=x+iy,z∈G∵f(z)在G内解析，Ux=Vy,Uy=-
Vx又（z）=0,（z）=Ux+iVxUx=0Vx=0Uy=-Vx=0Ux=Vy=0U
为实常数C1，V也为实常数C2，f(z)=C1+iC2=Z0f(z)在G内为常数。
形考任务3试题及答案一、选择题1.z=（）是根式函数的支点。
[答案]02.z=（）是函数的支点[答案]03.ei=（）。