证明数列不等式之放缩技巧及缩放在数列中的应用大全.pdf

证明数列不等式之放缩技巧及缩放在数列中的应用大全证明数列不等式之放缩技巧以及不等式缩放在数列中应用大全证明数列型不等式，其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧，充满思考性和挑战性。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩.一、利用数列的单调性n(n2)例1．证明：当n6,nZ时，1.2nn(n2)(n1)(n3)n(n2)3n2证法一：令c(n6)，则cc0,n2nn1n2n12n2n1683所以当n6时，cc.因此当n6时，cc1.n1nn6644n(n2)于是当n6时，1.226(62)483证法二：可用数学归纳法证.(1)当n=6时，1成立.26644k(k2)(2)假设当nk(k6)时不等式成立，即1.2k(k1)(k3)k(k2)(k1)(k3)(k1)(k3)则当n=k+1时，1.2k12k2k(k2)(k2)g2kn(n1)由(1)、(2)所述，当n≥6时，1.22二、借助数列递推关系1112例2.已知a2n1.证明：LnN.naaa323n11111111证明：，a2n112n1222n12an1n11111111212∴S...()n1[1()n].aaaa2a2a32323n122252x例3.已知函数f(x)=，设正项数列a满足a=l，afa．168xn1n1n5(1)试比较a与的大小，并说明理由；n45n1(2)设数列b满足b=－a，记S=b．证明：当n≥2时,S＜(2n－1)．nn4nnin4i1分析：比较大小常用的办法是作差法，而求和式的不等式常用的办法是放缩法。解：(1)因为a0,a0,所以168a0,0a2.nn1nn1/8证明数列不等式之放缩技巧及缩放在数列中的应用大全5548(a)a55552a5n43n4,因为2a0,所以a与a同号，annn1nn14168a432(2a)22a44nnn515555因为a0，a0,a0,…，a0,即a.1442434n4n453153131（2）当n2时，ba(a)bb2b，nnn1n15n1n1422a422a22n1n14所以b2b22bL2n1b2n3，nn1n211(12n)1113n41所以SbbLb(2n1).n12n4221241111例4.已知不等式[logn],其中n为不大于2的整数，[logn]表示不23n222超过logn的最大整数。设数列a的各项为正且满足2nna（n2)2bab(b0),an1.证明：a，n3,4,5.1nnan2b[logn]n12na111证明：由an1得：,nnaaann1nn1111111111(n2),,…,,aanaan1aa2nn1n1n22111111以上各式两边分别相加得：，aann12n111111112b[logn][logn]=2，abnn12b222bn2ba(n3).n2b[logn]2三、裂项放缩例5.求证:6n11151(n1)(2n1)49n23解析:因为,所以n1111125114111212k2352n12n133n214n212n12n1k1n24又1111111n11149n22334n(n1)n1n12/8证明数列不等式之放缩技巧及缩放在数列中的应用大全当n3时,n6n,当n1时,6n111,1n1(n1)(2n1)(n1)(2n1)49n2当时,6n111,所以综上有6n1115.n211(n1)(2n1)49n2(n1)(2n1)49n231例6.已知a2n1fx2x1求证：Tbf1bf2Lbfn．n，，n12n6112n112n1111证明：由于bfn2n1n2n12n1122n12n1122n12n111111111Tbf1bf2Lbfn