2025届北京市首都师范大学附属中学高二数学期末学业质量监测模拟试题含解析.docx

2025届北京市首都师范大学附属中学高二数学期末学业质量监测模拟试题含解析一、单选题（本题共10小题，每题5分，共50分）1、已知圆与直线，则圆上到直线的距离为1的点的个数是（）A.1B.2C.3D.42、函数的图象如图所示，则函数的图象可能是A.B.C.D.3、已知点是椭圆的左右焦点，椭圆上存在不同两点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.4、下列函数中，以为最小正周期，且在上单调递减的为（）A.B.C.D.5、在长方体，，则异面直线与所成角的余弦值是（）A.B.C.D.6、记为等差数列的前n项和，有下列四个等式，甲：；乙：；丙：；丁：．如果只有一个等式不成立，则该等式为（）A.甲B.乙C.丙D.丁7、数列满足，且，是函数的极值点，则的值是（）A.2B.3C.4D.58、数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线已知的顶点，则的欧拉线方程为（）A.B.C.D.9、《九章算数》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积为3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（）A.1升B.升C.升D.升10、若双曲线的焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）11、经过、两点的直线斜率为______.12、已知一组数据的平均数为4，方差为3，若另一组数据的平均数为10，则该组数据的方差为_______.13、若直线过圆的圆心，则实数a的值为_________.14、设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则的面积为______.15、在等比数列中，已知，则__________16、已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是___________.三、解答题（本题共5小题，每题12分，共60分）17、已知椭圆的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，过点的直线与椭圆相交于、两点.(1)求椭圆的方程；(2)若以为直径的圆过坐标原点，求的值.18、已知圆C的圆心为，且圆C经过点（1）求圆C的一般方程；（2）若圆与圆C恰有两条公切线，求实数m的取值范围19、已知函数（1）求曲线在点（e，）的切线方程；（2）求函数的单调区间.20、如图，已知菱形ABCD的边长为3，对角线，将△沿着对角线BD翻折至△的位置，使得，在平面ABCD上方存在一点M，且平面ABCD，（1）求证：平面平面ABD；（2）求点M到平面ABE的距离；（3）求二面角的正弦值21、某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如表:零件的个数x(个)2345加工的时间y(小时)2.5344.5（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图.（2）求出y关于x的线性回归方程，试预测加工10个零件需要多少小时?（注：，）参考答案一、单选题（本题共10小题，每题5分，共50分）1、答案：B【解析】根据圆心到直线的距离即可判断.【详解】由得，则圆的圆心为，半径，由，则圆心到直线的距离，∵，∴在圆上到直线距离为1的点有两个.故选：B.2、答案：D【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间3、答案：C【解析】先设点，利用向量关系得到两点坐标之间的关系，再结合点在椭圆上，代入方程，消去即得，根据题意，构建的齐次式，解不等式即得结果.【详解】设，由得，，，即，由在椭圆上，故，即，消去得，，根据椭圆上点满足，又两点不同，可知，整理得，故，故.故选：C.【点睛】关键点点睛：圆锥曲线中离心率的计算，关键是根据题中条件，结合曲线性质，找到一组等量关系（齐次式），进而求解离心率或范围.4、答案：B【解析】A.利用正切函数的性质判断；B.作出的图象判断；C.作出的图象判断；D.作出的图象判断.【详解】A.是以为最小正周期，在上单调递增，故错误；B.如图所示：，由图象知：函数是以为最小正周期，在上单调递减，故正确；C.如图所示：，由图象知：是以为最小正周期，在上单调递增，故错误；D.如图所示：，由图象知：是以为最小正周期，在上单调递增，故错误；故选：B5、答案：A【解析】在长方体中建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而求得向量，的坐标，利用向量的夹角公式即可求得答案.详解】如图，由题意可知DA，DC，两两垂直，则以D为原点，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.设，则，，，，，，从而，