数学大观 教学大纲.pdf

《数学大观》教学大纲

第一章数学爱我们

介绍课程指导思想：展示数学的魅力与威力.能
力点:通过有招(讲故事)学无招(思想),无招(思
想)指挥有招(算法).

1.课程目标

介绍本课程的学习目引起对数学的兴趣,减
少对数学的仇恨,对数学思想有所了解.强
调idea(思想),不追求technique(算法细
节).标和指导思想

2.数学爱我们

无招(idea)胜有招(technique),通过有招
(讲故事)学无招(思想方法).故事:设计
幻方.从文字幻方开始:5行5列方格表
中第一行填“我,们,爱,数,学”,以后每行
仍是这5个字的排列,每列、每条对角线也
是.将5个字换成0,1,2,3,4这5个不同数
字,则每行每列每条对角线各数和相等。两
张满足同样要求的不同的表,第一张乘5加
第二张表,再同加1就得到5阶幻方.类似
可得3阶幻方.

3.运算律巧算24

用5,5,5,1经过加减乘除算24.死凑难奏
效,由5x5-1=24左边恒等变形得到正确等
式5x(5-1/5)=24.能力点:运算律的应
用.欧几里得由少数简单公理推出复杂丰
富的几何学.代数学由更少数简单公理推
出,运算律就是代数公理。

4.未知算已知

算术应用题:大人小孩共100人吃100个
馒头,大人每人吃3个,小孩每3人吃1个,
大人小孩各多少?小学算术只能由已知算
未知，所以很困难.初中可以不需要知道
大人小孩人数,只要各设为x,y,就可由x,y
算出总人数x+y=100和馒头数3x+y/3=100.
为什么可以将已知未知混为一谈?因为它
们的算法相同.而且运算律相同，因此可
以对方程同解变形求出解来.

5.天上掉下余弦定理
为什么不同数值a,b满足同一个平方公式
(a-b)^2=a^2+b^2-2ab?因为它们满足同样
的运算律.a,b换成向量仍然满足同样的
运算律,平方公式仍然成立，这就是余弦定
理,当a,b垂直时ab=0,就是勾股定理.还
可以将a,b再换成n数组向量,也满足同样
的运算律，因此勾股定理可以推广到n数组
向量.余弦大于1也可以推广，就是柯西不
等式.

6.椭圆面积也简单

计算椭圆面积需要用到积分,还要进行变量
替换.不过,只要将椭圆的半短轴b拉长到
与半长轴a相等,将椭圆拉成圆,就能由圆面
积公式算出椭圆面积了.怎样拉长?将
每个点(x,y)的横坐标x不变,纵坐标y乘
a/b,椭圆就拉成半径为a的圆,面积变成
pa^2.拉长过程中面积扩大倍数为a/b,再
乘b/a压缩回去就得到椭圆面积pab.还可
由圆内接n边形最大面积得到椭圆内接n边
形最大面积。

第二章七十二行任纵横-数学聊斋
数学聊斋通过生活中的故事说明其中的数学原
理、思想和方法.音乐美术体育旅游餐饮，生活
的方方面面都有数学，培养透过现象发现规律的
能力,理论联系实际的能力.

1.音调中的等比数列

音阶1,2,...,7,i中各音的频率怎么
算?从1到高八度的i,频率f升高1倍到
2f.经过12个“台阶”(包括白键黑键),
共升高12个半音,频率组成等比数
列,公比q等于2的12次方根.由等比数
列通项公式可以算出各音的频率。这叫做十
二平均律.还可利用计算机软件按照算出的
频率将各个音播放出来，甚至可以组成乐曲,
让你听听数学的美妙声音.

2.怎样模拟不同乐器的声音

不同乐器发出的声音的不同音色由不同波
形决定,由不同频率f,2f,3f,...的正弦波
(Ak)sin(kf+tk)按不同强弱(由振幅Ak决定)
合成.改变各频率正弦波的强弱比
例(A1,A2,...,Ak,...),就改变了波形从
而改变了音色.将周期函数(波)分解为不
同强弱比例的正弦波的合成,数学上称为傅
里叶级数.

3.美术中的数学

课堂展示两张照片,一张是地面的平行队列
在照片上相交,另一张是台灯在墙上的光影
边缘曲线.为什么地面上的平行线在照片
上相交?地面的图形到照片上图形的映射
是以镜头为中心的中心投影.研究中心投
影的几何称为射影几何.由于地面与照片
不平行,平行线变成相交.台灯由灯罩内
发出的光束是圆锥，墙是平面，光影边缘就
是平面截圆锥得到的双曲线，也是灯罩下沿
的圆在灯光下的中心投影.

4.佛光中的多媒体教学

峨眉山最精彩也最难看到的景色是佛光。站
在舍身崖悬崖往下看,如果天上有太阳,崖
下有云,云的高度合适，出现彩色光环,就是
佛光.如果云层太高或太矮,都看不见佛
光.但是，如果云从太矮连续上升到太高,途
中就有一点恰到好处.这就是数学上的连
续函数介值定理.一朵朵云连续往上升,
佛光一次次地出现，象是普贤菩萨在进行多
媒体教学,教学内容就是连续函数定理.

5.足球的圆与方

足球的胜负有偶然性，弱队可以战胜强队,
因此“足球是圆的”.