计算流体力学中有限差分法、有限体积法和有限元法的区别.pdf

1.FDM

1.1概念

有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该

方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分

法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商

代替进展离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一

种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是

开展较早且比拟成熟的数值方法。

1.2差分格式

〔1〕从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。

〔2〕从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。

〔3〕考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格

式等。

目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分

格式。差分方法主要适用于有构造网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和

柯朗稳定条件来决定。

1.3构造差分的方法

构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其根本的差

分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶

中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通

过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。

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2.1概述

有限元方法的根底是变分原理和加权余量法，其根本求解思想是把计算域划分为

有限个互不重叠的单元，在每个单元，选择一些适宜的节点作为求解函数的插值

点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数

组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用

不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。

2.2原理

有限元方法最早应用于构造力学，后来随着计算机的开展慢慢用于流体力学、土

力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互

连接的单元，在每个单元选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的

真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计

算域的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有

限元计算方法是由变分法和加权余量法开展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘

法等。

根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。

〔1〕从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法；

〔2〕从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格；

〔3〕从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。

不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。

对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘

法是令权函数等于余量本身，而积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在

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N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格

满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项

式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插

值函数。

有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取值，称为拉

格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导

数值在插值点取值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐

标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐

标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三

维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的

应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有

Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标

系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。

2.3根本原理与解题步骤

对于有限元方法，其根本思路和解题步骤可归纳为：

(1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方

程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。

(2)区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为假

设干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，

这局部工作量比拟大，除了给计算单元和节点进展编号和确定相互之间的关系之

外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号

和相应的边界值。

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确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要